群とは
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2022.05.31____
　全体集合を 0 以上の整数とする。7 で割り切れる数は全て同値とみなして 0 で表し、7 で割ると 1 余る数は全て同値とみなして 1 で表し、・・・・、7 で割ると 6 余る数は全て同値とみなして 6 で表すこととする。すると、7 を法とする剰余数の体系は、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の７種類の数だけになる。これを「7 を法とする簡易乗余数体系」と言うことにする。

　すべての数に 4 をたしてみる。 　0 ＋ 0 ＝→ 0
　0 ＋ 1 ＝→ 1
　0 ＋ 2 ＝→ 2
　0 ＋ 3 ＝→ 3
　0 ＋ 4 ＝→ 4
　0 ＋ 5 ＝→ 5
　0 ＋ 6 ＝→ 6

　6 ＋ 1 ＝→ 7 ＝→ 0
　5 ＋ 2 ＝→ 7 ＝→ 0
　4 ＋ 3 ＝→ 7 ＝→ 0
　3 ＋ 4 ＝→ 7 ＝→ 0
　2 ＋ 5 ＝→ 7 ＝→ 0
　1 ＋ 6 ＝→ 7 ＝→ 0

　2 に 4 をたしてから 5 をたしてみる。
　　　　5 ＋ ( 4 ＋ 2 ) ＝→ 5 ＋ 6 ＝→ 11 ＝→ 4
　2 に 5 をたしてから 4 をたしてみる。
　　　　4 ＋ ( 5 ＋ 2 ) ＝→ 4 ＋ 7 ＝→ 4 ＋ 0 ＝→ 4
　2 に 「4 に 5 をたしたもの」をたしてみる。
　　　　( 5 ＋ 4 ) ＋ 2 ＝→ 9 ＋ 2 ＝→ 2 ＋ 2 ＝→ 4
　「2 に 4 をたしたもの」に 5 をたしてみる。
　　　　5 ＋ ( 4 ＋ 2 ) ＝→ 5 ＋ 6 ＝→ 11 ＝→ 4


　すべての数に 4 をかけてみる。 　1 × 0 ＝→ 0
　1 × 1 ＝→ 1
　1 × 2 ＝→ 2
　1 × 3 ＝→ 3
　1 × 4 ＝→ 4
　1 × 5 ＝→ 5
　1 × 6 ＝→ 6

　1 × 1 ＝→ 1
　4 × 2 ＝→ 8 ＝→ 1
　5 × 3 ＝→ 15 ＝→ 1
　2 × 4 ＝→ 8 ＝→ 1
　3 × 5 ＝→ 15 ＝→ 1
　6 × 6 ＝→ 36 ＝→ 1

　2 に 4 をかけてから 5 をかけてみる。
　　　　5 × ( 4 × 2 ) ＝→ 5 × 8 ＝→ 5 × 1 ＝→ 5
　2 に 5 をかけてから 4 をかけてみる。
　　　　4 × ( 5 × 2 ) ＝→ 4 × 10 ＝→ 4 × 3 ＝→ 12 ＝→ 5
　2 に 「4 に 5 をかけたもの」をかけてみる。
　　　　( 5 × 4 ) × 2 ＝→ 20 × 2 ＝→ 6 × 2 ＝→ 12 ＝→ 5
　「2 に 4 をかけたもの」に 5 をかけてみる。
　　　　5 × ( 4 × 2 ) ＝→ 5 × 8 ＝→ 5 × 1 ＝→ 5



　7 を法とする簡易剰余数体系では、0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の７種類の数が登場するが、
それを 0/7, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 の７種類の数として捉えてみる。

　すべての数に 4/7 をたしてみる。 　0/7 ＋ 0/7 ＝→ 0/7
　0/7 ＋ 1/7 ＝→ 1/7
　0/7 ＋ 2/7 ＝→ 2/7
　0/7 ＋ 3/7 ＝→ 3/7
　0/7 ＋ 4/7 ＝→ 4/7
　0/7 ＋ 5/7 ＝→ 5/7
　0/7 ＋ 6/7 ＝→ 6/7

　6/7 ＋ 1/7 ＝→ 7/7 ＝→ 0/7
　5/7 ＋ 2/7 ＝→ 7/7 ＝→ 0/7
　4/7 ＋ 3/7 ＝→ 7/7 ＝→ 0/7
　3/7 ＋ 4/7 ＝→ 7/7 ＝→ 0/7
　2/7 ＋ 5/7 ＝→ 7/7 ＝→ 0/7
　1/7 ＋ 6/7 ＝→ 7/7 ＝→ 0/7

　2/7 に 4/7 をたしてから 5/7 をたしてみる。
　　　　5/7 ＋ ( 4/7 ＋ 2/7 ) ＝→ 5/7 ＋ 6/7 ＝→ 11/7 ＝→ 4/7
　2/7 に 5/7 をたしてから 4/7 をたしてみる。
　　　　4/7 ＋ ( 5/7 ＋ 2/7 ) ＝→ 4/7 ＋ 7/7 ＝→ 4/7 ＋ 0/7 ＝→ 4/7
　2/7 に 「4/7 に 5/7 をたしたもの」をたしてみる。
　　　　( 5/7 ＋ 4/7 ) ＋ 2/7 ＝→ 9/7 ＋ 2/7 ＝→ 2/7 ＋ 2/7 ＝→ 4/7
　「2/7 に 4/7 をたしたもの」に 5/7 をたしてみる。
　　　　5/7 ＋ ( 4/7 ＋ 2/7 ) ＝→ 5/7 ＋ 6/7 ＝→ 11/7 ＝→ 4/7

　すべての数を 4倍してみる。
　　　　※ 4倍するとは、４つ分を合計することであって、4/7 をかけることではない。 　1/7 × 0/7 ＝→ 0/7
　1/7 × 1/7 ＝→ 1/7
　1/7 × 2/7 ＝→ 2/7
　1/7 × 3/7 ＝→ 3/7
　1/7 × 4/7 ＝→ 4/7
　1/7 × 5/7 ＝→ 5/7
　1/7 × 6/7 ＝→ 6/7

　1/7 × 1/7 ＝→ 1/7
　4/7 × 2/7 ＝→ 8/7 ＝→ 1/7
　5/7 × 3/7 ＝→ 15/7 ＝→ 1/7
　2/7 × 4/7 ＝→ 8/7 ＝→ 1/7
　3/7 × 5/7 ＝→ 15/7 ＝→ 1/7
　6/7 × 6/7 ＝→ 36/7 ＝→ 1/7

　2/7 に４をかけてから５をかけてみる。
　　　　５× ( ４ × 2/7 ) ＝→ ５ × 8/7 ＝→ ５ × 1/7 ＝→ 5/7
　2/7 に５をかけてから４をかけてみる。
　　　　４ × ( ５ × 2/7 ) ＝→ ４ × 10/7 ＝→ ４ × 3/7 ＝→ 12/7 ＝→ 5/7
　2/7 に 「４に５をかけたもの」をかけてみる。
　　　　( ５ × ４ ) × 2/7 ＝→ ２０ × 2/7 ＝→ 40/7 ＝→ 5/7
　「2/7 に４をかけたもの」に５をかけてみる。
　　　　５ × ( ４ × 2/7 ) ＝→ ５ × 8/7 ＝→ ５ × 1/7 ＝→ 5/7

　このようにうまくいく。剰余数という概念を意識化するためにも 5/7 の記述の方が好ましいとも思える。
　しかし、この記述方法では、乗法に関して、たとえ 7 で割り切れる数を除外したとしてしても群にはならない。群の定義は次のようになっている。

ある集合に関して、 次の４つが言えるとき、 この集合を 群 と言う。 　単位元とは、 演算をする側に回ったとき、 演算をされる側の要素と等しい演算結果になり、 かつ、 演算をされる側に回ったとき、 演算をする側の要素に等しい演算結果になる要素のことである。
　逆元とは、 ある要素が演算をする側に回り自分が演算をされる側に回ったとき、 その演算結果が単位元になり、 かつ、 その要素が演算をされる側に回り自分が演算をする側に回ったとき、その演算結果が単位元になる要素のことである。

群 では、集合の要素が数や物質など以外に演算子も含まれます。


　　　※ 参考：　その他の数学 ＞ 行列群
　　　　　　　　その他の数学 ＞ 置換群（ 対称群 ）
　　　　　　　　その他の数学 ＞ MODが関与する巡回転数のような巡回置換

　7 を法とする簡易乗余数体系は、加法に関して群である。 7 を法とする簡易乗余数体系から 7 で割り切れる数を除外したものは、乗法に関して群である。