置換は互換の合成で表すことができます。互換を偶数回行ってできる置換を「偶置換」と言い、互換を奇数回行ってできる置換を「偶置換」と言います。


　次のように表される置換があります。
　　　
この置換は互換と言われます。この置換を互換演算子 [3,5] を用いて表すと次のようになります。
　　　( 1 2 5 4 3 ) ＝ [3,5]( 1 2 3 4 5 )


　順列 ( 1 2 3 4 5 ) に、まず互換演算子 [1,3] を作用させ、次に互換演算子 [1,5] を作用させ、最後に互換演算子 [2,4] を作用させると次のようになります。
　　　( 3 2 1 4 5 ) ＝ [1,3]( 1 2 3 4 5 )
　　　( 3 2 5 4 1 ) ＝ [1,5]( 3 2 1 4 5 )
　　　( 3 4 5 2 1 ) ＝ [2,4]( 3 2 5 4 1 )
以上の互換の合成は次のように表されます。
　　　( 3 4 5 2 1 ) ＝ [2,4][1,5][1,3]( 1 2 3 4 5 )
これを一般的な置換の記述法で表すと、次のようになります。
　　　

上記の置換は奇置換です。
次の置換は偶置換です。
　　　


では、問題です。次の置換は偶置換ですか、それとも奇置換ですか？
　　　
　1 が存在する所から 1 を排除して 2 を持ってきて、2 が存在する所から 2 を排除して 5 を持ってきて、5 が存在する所から 5 を排除して 4 を持ってきて、4 が存在する所から 4 を排除して 1 を持ってくるという巡回置換の演算子を [1,2,5,4] で表すと、上記の置換は次のように表すことができます。
　　　( 2 5 3 1 4 ) ＝ [1,2,5,4]( 1 2 3 4 5 )
巡回置換の演算子 [1,2,5,4] は次のように互換の合成で表すことができます。
　　　 [1,2,5,4] ＝ [1,4][1,5][1,2]
したがって、上記の置換は次のようになります。
　　　( 2 5 3 1 4 ) ＝ [1,4][1,5][1,2]( 1 2 3 4 5 )
したがって、上記の置換は奇置換であることが分かります。