整数問題
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2022.01.11____
【 問 題 】
正の整数のペアが４組ある。
それぞれペアになっている整数の逆数を加えた数の逆数は10である。
正の整数のペアを４組とも述べよ。
【 解 答 】
整数のペアを m と n とする。 ( ただし、m ≦ n )
題意より、 1/m ＋ 1/n ＝ 1/10
したがって、 10 n ＋ 10 m ＝ m n
したがって、 m n − 10 m − 10 n ＝ 0
したがって、 m n − 10 m − 10 n − 100 ＝ 100
したがって、 m ( n − 10 ) − 10 ( n − 10 ) ＝ 100
したがって、 ( m − 10 ) ( n − 10 ) ＝ 100
100 ＝ 1×100 ＝ 2×50 ＝ 4×25 ＝ 5×20 ＝ 10×10
答えは、 ( m , n ) ＝ ( 11 , 110 ) , ( 12 , 60 ) , ( 14 , 35 ) , ( 15 , 30 )
【 確かめ 】
1/11 ＋ 1/110 ＝→ 10/110 ＋ 1/110 ＝→ 11/110 ＝→ 1/10
1/12 ＋ 1/60 ＝→ 5/60 ＋ 1/60 ＝→ 6/60 ＝→ 1/10
1/14 ＋ 1/35 ＝→ 5/70 ＋ 2/70 ＝→ 7/70 ＝→ 1/10
1/15 ＋ 1/30 ＝→ 2/30 ＋ 1/30 ＝→ 3/30 ＝→ 1/10