ばいおりんの慣性系相対性理論

　　図Ａ
　　　　　　　

　図Ａを見てください。ｍ行目ｎ列目のマスの中には次の式で表される自然数が収まっています。
　　　　

これを時計回りに４５度回転します。これを図Ａ’ とします。

　　図Ａ’
　　　　

次に、図Ａ’ のマスの中の数字を次のように書き換えます。これを図Ｂ’ とします。

　　図Ｂ’
　　　　

その次に、これを反時計周りに４５度回転します。これを図Ｂとします。

　　図Ｂ
　　　　　　　

　では、問題です。　ｍ行目ｎ列目のマスの中には、どんな数が収まっているでしょうか？

　　　　　　答えは、　10 ｍ＋ 11 ｎ－ 10　です。

　列ごとに数列を見てみましょう。ｎ列目の数列は、初項 11 ｎ　公差 10 の等比数列です。ですから、そのｍ項目の数は次のようになります。
　　　　　11 ｎ＋ 10 （ｍ－１）　＝→　10 ｍ＋ 11 ｎ－ 10

図Ｂ’ のマスの中の数字を次のように書き換えます。これを図Ｃ’ とします。

　　図Ｃ’
　　　　

その次に、これを反時計周りに４５度回転します。これを図Ｃとします。

　　図Ｃ
　　　　　　　

　では、問題です。　ｍ行目ｎ列目のマスの中には、どんな数が収まっているでしょうか？

　列ごとに数列を見てみましょう。ｎ列目の数列は、階差数列が、初項ｎ　公差 1 の等比数列になっています。ということは、ｎ列目の数列のｋ項目の数（ a_k ）と（ｋ－１）項目の数（ a_k－1 ）との差は、ｎ＋ｋ－１になっています。つまり、次の式が成り立ちます。
　　　　　　a_k－1　－　a_k　＝　ｋ＋ｎ－１

　　　　　　a₂　－　a₁　＝　１＋ｎ－１
　　　　　　a₃　－　a₂　＝　２＋ｎ－１
　　　　　　a₄　－　a₃　＝　３＋ｎ－１
　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　a_m　－　a_m－1　＝　ｍ－１＋ｎ－１

　　　　　　上記の式たちを辺々足すと、
　　　　　　　　　a_m　－　a₁　＝　ｍ（ｍ－１） / ２＋（ｎ－１）（ｍ－１）

ｎ列目の数列の初項を求めましょう。１行目の数列は、階差数列が初項２　公差１の等比数列になっています。ということは、１行目の数列について次の式が成り立ちます。
　　　　　　a_k－1　－　a_k　＝　ｋ＋２－１

　　　　　　a₂　－　a₁　＝　１＋１
　　　　　　a₃　－　a₂　＝　２＋１
　　　　　　a₄　－　a₃　＝　３＋１
　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　a_n　－　a_n－1　＝　ｎ－１＋１

　　　　　　上記の式たちを辺々足すと、
　　　　　　　　　a_n　－　a₁　＝　ｎ（ｎ－１）/ ２＋ｎ－１
　　　　　　　　　よって、 a_m　＝　ｎ（ｎ－１）/ ２＋ｎ

したがって、ｎ列目の数列の初項はｎ（ｎ－１）/ ２＋ｎ　になります。
したがって、ｎ列目の数列のｍ項目の数は、次の式で与えられます。
　　　ｎ（ｎ－１）/ ２＋ｎ　＋　ｍ（ｍ－１）/ ２＋（ｎ－１）（ｍ－１）
　　　　　　　　　　＝→　（ｍ² ＋ｎ² ＋２ｍｎ－３ｍ－ｎ＋２） ÷ ２

別解の答えは次のようになります。
　　　　　

　これは、図Ａ’ と図Ｃ’ の数字を対応させることによって導かれたものです。まず、図Ｃ’の１列目（図Ｃの１列目と同じです。）のみに注目します。１行目からｍ行目までのマスの中の数を数列にしてみます。
　　　　１　　２　　４　　７　　11　・・・　

この階差数列の漸化式は次のように表されます。
　　　　

したがって、１列目のｍ行目のマスの中の数は次のようになります。
　　　　　

　図Ａ’ の数に対応する数字は、図Ｃ’ の行目のｎ列目（図Ｃのｎ列目とは異なります。）のマスの中の数字です。その数は次のように表されます。
　　　　

　図Ａ’ と図Ｃ’ の数字の対応は、図Ａと図Ｃの数字の対応と同じですから、答えは次のようになります。
　　　　　