【 問 題 １ 】

「 素数は無限にある。」という命題が真であることを示しなさい。

【 解 答 】

　 仮定命題 ：　最も大きな素数が存在する。（ それをＡ とする ）

　 有限個の全ての素数の積に １ を加えたものは素数である。 なぜなら、 どの素数で割っても １ 余るから。 さらに、 その素数はＡ よりも大きい。 したがって、 Ａ よりも大きな素数が存在する。

　 このように、 仮定命題から導き出される命題が仮定命題に矛盾する。 したがって、 仮定命題は偽である。 よって、 素数は無限にある。

【 問 題 ２ 】

「 隣合う自然数は互いに素である。」という命題が真であることを示しなさい。

【 解 答 】

　 仮定命題 ：　隣合う自然数には公約数が存在する。

　 隣合う自然数を a と a＋1 とする。
　 この２つの自然数の公約数を k ( k は 2 以上の自然数 ) とする。
　 a ＝ k c ・・・ �@　　　a＋1 ＝ k d ・・・ �A　　　( c と d は自然数 )
　 �A から �@ を辺々引くと、
　　　　　1 ＝ k ( d − c )
　　 k は２以上の自然数で、かつ、d − c は 1 以上の自然数であるから、
　 上記の式の右辺は 2 以上となり、上記の式は成り立たないことが分かる。

　 したがって、 仮定命題は偽である。 よって、 隣合う自然数は互いに素である。