　　　\( r=\cos4\theta\ \ \left\{0\le\theta\le2\pi\right\} \)

すると、次のような花びらが描出されます。
　　　

　グラフの設定を極座標系にしてやってもいいです。そのためには「目盛線」を蜘蛛の巣のようなマークに変えてやります。

　　※ 参照：大学生のための数学＞十進BASIC ＞十進BASIC＿グラフィックス＞花びらを描くアニメ

　さて、通常座標表示から極座標表示への変換は次の式で与えられます。
　　　\( \left(\ x,\ y\ \right)\ \to\ \left(\ \sqrt{\ x^{2}+y^{2}\ },\ \tan^{-1}\left(\frac{\ y\ }{x}\right)\right) \)
　そこで、次のような式を作りました。
　　　\( \sqrt{x^{2}+y^{2}\ }=\cos\left(4\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right) \)
　なんということでしょう！花びらが４枚しかありません。そこで次のようにしてみました。
　　　\( \sqrt{x^{2}+y^{2}\ }=\cos\left(8\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right) \)
　すると今度は、花びらが８枚になったのですが花弁が細いのです。そこで花びら４枚を反時計回りに45度回転させて、 \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \sqrt{\left(x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^{2}+\left(-x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^{2}\ }=\ \cos\left(4\tan^{-1}\left(\frac{x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{-x\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)\right)&& \end{flalign} \] または \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ \sqrt{x^{2}+y^{2}\ }=\cos\left(4\left(\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\frac{\pi}{4}\right)\right)&& \end{flalign} \] または \[ \begin{flalign} \ \ \ \ \ \ -\sqrt{x^{2}+y^{2}\ }=\cos\left(4\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\right)&& \end{flalign} \] 回転前と回転後の２つの図形を重ねてやると、\( r=\cos4\theta\ \ \left\{0\le\theta\le2\pi\right\} \)　と同じものができました。

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