（１） 平方数の数列

次のような平方数の和の公式があります。
　　　　

（ 証明 その１ ）
についての恒等式 ：　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

これらを辺々加えると、
　　　　
　　　　


（ 証明 その２ ）















　さて、 １ から 10 までの自然数の和を求めるのに、 次のような方法があります。

　　　　

一般に、 １ から までの自然数の和は次のように表されます。
　　　　

（ 証明 ）
についての恒等式 ：　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

これらを辺々加えると、
　　　　


この証明以外に数学的帰納法もありますが、 さらに次のような図を使う方法があります。

　　　　


　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　これを応用すると、 さきほどの平方数の和の公式を証明することができます。
まず、 次のような数字のピラミッドを作ります。

　　　　　　

この数字のピラミッドを反時計回りに１２０度回転させます。

　　　　　　

　 この数字のピラミッドを左右反転させて鏡面像を作ります。 ただし、 数字の文字は鏡面像にしていません。

　　　　　　

以上の３つの数字のピラミッドを重ねて、 重なる数字を加えると、
　　　　

１つの数字のピラミッドに含まれる数字の個数は次のようになります。
　　　　
したがって、 数字のピラミッドに含まれる数の合計は次のようになります。
　　　　　

（２） オイラーによって発見された平方数の逆数の和の収束値（ バーゼル問題 ）

　　　　

（ 証明 ）

したがって、 次の式が成り立ちます。
　　　　
この式の左辺は、 が次のような値を取るときに ０ になります。
　　　　　
したがって、 の左辺は次のように書けるはずです。
　　　　
この式 と の右辺の の項は等しいので、 次の式が成り立ちます、
　　　　


では、 次の式はいくらになると思いますか？
　　　　
答えは、 無限大です。 次のようにして答えを導くことができます。
　　　　
　　　　
　　　　　であるから　　である。


　　　　　　　　　＊　参考 ：　数理論 ＞ すべての素数が登場するオイラー積

（３） オイラーによって発見された平方数の逆数の和の収束値（ その２ ）

　　　　

（ 証明 ）
マクローリン展開 ：
　　　　
この式の左辺は、 x が次のような値を取るときに ０ になります。
　　　　
したがって、 cos x は次のように書くことができます
　　　　
この式とマクローリン展開式の x^２ の係数を比べると、
　　　　


（ 別の証明 ）