【 問 題 １ 】

偶数の平方数を４で割った余りは ０ で、奇数の平方数を４で割った余りは １ であることを示せ。

　【 解 答 】

( 2k )²　＝→　4 × k² は、４で割ると ０ 余る。
( 2k＋1 )²　＝→　4 × ( k²＋k ) ＋ １ は、４で割ると １ 余る。
したがって、偶数の平方数を４で割った余りは ０ で、奇数の平方数を４で割った余りは １ である。

【 問 題 ２ 】

自然数の平方数を３で割った余りは、０ または １ であることを示せ。

　【 解 答 】

( 3k )²　＝→　3 × 3k² は、３で割ると ０ 余る。
( 3k＋1 )²　＝→　3 × ( 3k²＋2k ) ＋ １ は、３で割ると １ 余る。
( 3k＋2 )²　＝→　3 × ( 3k²＋4k＋1 ) ＋ １ は、３で割ると １ 余る。
したがって、自然数の平方数を３で割った余りは、０ または １ である。

【 問 題 ３ 】

自然数の平方数を４で割った余りは、０ または １ であることを示せ。

　【 解 答 】

( 4k )²　＝→　4 × 4k² は、４で割ると ０ 余る。
( 4k＋1 )²　＝→　4 × ( 4k²＋2k ) ＋ １ は、４で割ると １ 余る。
( 4k＋2 )²　＝→　4 × ( 4k²＋4k＋1 ) は、４で割ると ０余る。
( 4k＋3 )²　＝→　4 × ( 4k²＋6k＋2 ) ＋ １ は、４で割ると １ 余る。
したがって、自然数の平方数を４で割った余りは、０ または １ である。

【 問 題 ４ 】

全体集合を０を含まない自然数とする。
a² ＋ b² ＝ 30²　を満たす a と b を求めよ。 ただし、 a ≦ b とする。

　【 解 答 】

30² ＝ 900 ＝→ 3 × 4 × 75　だから、 900 は３でも４でも割り切れる。
900 が３で割り切れるための必要条件は、 a も b も３で割り切れることである。
900 が４で割り切れるための必要条件は、 a も b も２で割り切れることである。
したがって、問題の式が成立するための必要条件は、 a も b も６で割り切れることである。
そこで、 a ＝ 6n　 b ＝ 6m　（ n ≦ m ）　と置く、
すると、 (6n)² ＋ (6m)² ＝ 3×4×75 ＝→ 3×4×3×25
よって、 n² ＋ m² ＝ 25　　１ ≦ n ≦ m ≦ ４
n ＝ 1 　のとき、 m² ＝ 24　これを満たす m は存在しない。
n ＝ 2 　のとき、 m² ＝ 21　これを満たす m は存在しない。
n ＝ 3 　のとき、 m² ＝ 16　これを満たす m は 4 である。
n ＝ 4 　のとき、 m² ＝ 9　　m ＝ 4　はこれを満たさない。
したがって、 a ＝ 18 　 b ＝ 24