● 方べきの定理（ １型 ）：

　 円に１本の弦ＡＢを引きます。 その弦に交わるようにもう１本の弦ＣＤを引き、 交点をＰとします、 すると、 ＡＰ × ＢＰ ＝ ＣＰ× ＤＰ　になります。

　　　　　

（ 証 明 ）

円周角の定理より
　　　∠ ＤＡＢ ＝ ∠ ＤＣＢ
　　　∠ ＡＤＣ ＝ ∠ ＡＢＣ
また、 ∠ ＡＰＤ ＝ ∠ ＣＰＢ
よって、 △ ＡＣＰ と △ ＤＰＢ　は相似である。
したがって、
　　　　
したがって、 ＡＰ × ＢＰ ＝ ＣＰ× ＤＰ

● 方べきの定理 （ ２型 ） ：

　　
（ 証 明 ）

接弦定理より、 ∠ ＢＰＡ ＝ ∠ ＰＣＢ
したがって、 △ＰＣＡ と △ＢＰＡ とは相似である。
よって、
　　　　

● 方べきの定理 （ ３型 ） ：

円周上に点Ａと点Ｂをとり、円の外に点Ｐをとります。
　　
　　　　　　　PA × PD ＝ PB ×PC
（ 証 明 ）

円に内接する四角形の向かい合う角の和は 180 度である。
よって、 ∠PAB ＝∠PCD　かつ　∠PBA ＝∠PDC　である。
よって、 △PAB と △PCD は相似である。
ＰＡ ＝ kＰＣ とすると、 ＰＢ ＝ kＰＤ
ＰＡ × ＰＤ　＝→　kＰＣ × 1/kＰＢ　＝→　ＰＣ × ＰＢ