集合Ａの要素の数を で表します。 次の式は、 交わり合っている３つの集合の包除原理を表しています。
　　　　　

交わっている４つの集合の包除原理を次のようになります。



　 交わっている集合が５つ以上の場合でも、 同様にして、 どれかの集合に属している要素の数を求めることができます。


　　　　　

　　　　　　　　　1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

　　　　　　　　　10 + 16 + 20 − ( 5 + 9 + 7 ) ＋ 3 ＝ 28


　 では、 90と互いに素で、 90を超えない自然数の数を求めてみましょう。
　 　ですから、 90未満の自然数のうち、２の倍数でもなく、３の倍数でもなく、５の倍数でもない数の数を求めればいいことになります。

　　　　　２の倍数の数：　４５個
　　　　　３の倍数の数：　３０個
　　　　　５の倍数の数：　１８個

　　　　　６の倍数の数：　１５個
　　　　　15の倍数の数：　　６個
　　　　　10の倍数の数：　　９個

　　　　　30の倍数の数：　　３個

したがって、 求める数は次のようになります。
　　　　　

　 ３つの異なる素数の重複を認める積の形で表される自然数 について、 オイラーは、 その自然数と互いに素でありその自然数を超えない自然数の数 を求める公式を導いています。
　　　　　
　　　　　

　 これを一般化して、 ある自然数について、 その自然数と互いに素でありその自然数を超えない自然数の数を求めるプログラムを十進BASIC で作ってみました。

　　　　　　



Ａ または Ｂ または Ｃ は、 次の式から求めることができます。