【 問 題 １ 】

全体集合を １ 以上の自然数とする。
ｎ³ − ７ｎ ＋ 12　は全ての ｎ に対して３の倍数であることを証明せよ。

　【 解 答 】

ｎ³ − ７ｎ ＋ 12　＝→　ｎ³ − ｎ −６ｎ ＋ 12　＝→　ｎ （ ｎ² − １ ） − ６ｎ ＋ 12
　　　　　　　　　　　＝→　（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１） ＋ ３（ −２ｎ ＋ ４ ）
（ｎ−１）ｎ （ｎ＋１）　は連続する３つの数なので３で割り切れる。
３（ −２ｎ ＋ ４ ）は３の倍数である。
したがって、 ｎ³ − ７ｎ ＋ ３　は全てのｎに対して３の倍数である。

　【 別 答 】

ｎ ＝ １ のとき　ｎ³ − ７ｎ ＋ 12　＝　６　なので３の倍数である。
ｎ ＝ ｋ のとき　ｎ³ − ７ｎ ＋ 12　は３の倍数であると仮定する。
ｋ³ − ７ｋ ＋ 12　＝　３ｍ　と置くことができる。
ｎ ＝ ｋ＋１ のとき
（ｋ＋１) ³ − ７（ｋ＋１） ＋ 12　＝→　ｋ³ ＋ ３ｋ^２ ＋ ３ｋ ＋ １ − ７ｋ ＋ ５
　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　ｋ³ ＋ ３ｋ^２ ― ４ｋ ＋ ６
　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　３ｍ ＋ ７ｋ −12 ＋ ３ｋ^２ ― ４ｋ ＋ ６
　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　３ｍ ＋ ３ｋ^２ ＋ ３ｋ − ６
　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　３ × （ ｍ ＋ ｋ^２ ＋ ｋ − ２ ）
というわけで、 ｎ ＝ ｋ＋１ のときも ｎ³ − ７ｎ ＋ 12　は３で割り切れる。
以上、 数学的帰納法より、 ｎ³ − ７ｎ ＋ 12　は全ての ｎ に対して３の倍数であることが証明された。

【 問 題 ２ 】

全体集合を １ 以上の自然数とする。
５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31　は全ての ｎ について 16 の倍数であることを証明せよ。

　【 解 答 】

５^ｎ　＝ （４＋１）^ｎ　＝　４^ｎ ＋ _nC₁ ４^ｎ−１ ＋ _nC₂ ４^ｎ−2 ＋ ・ ・ ・ ＋ _nC₂ ４² ＋　_nC₁ ４ ＋ １
　　　　　　　　　　　＝→　16 ×（ ４^ｎ-２ ＋ _nC₁ ４^ｎ−３ ＋ _nC₂ ４^ｎ−4 ＋ ・ ・ ・ ＋ _nC₂ ） ＋ ４ｎ ＋ １
ｍ ＝　４^ｎ-２ ＋ _nC₁ ４^ｎ−３ ＋ _nC₂ ４^ｎ−4 ＋ ・ ・ ・ ＋ _nC₂　と置くと、
　　　５^ｎ　＝　16ｍ ＋ ４ｎ ＋ １
５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31　＝→　16ｍ ＋ 16ｎ ＋ 32　＝→　16（ ｍ＋ｎ＋２ ）
というわけで、 ５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31　は全ての ｎ について 16 の倍数であることが分かった。

　【 別 答 】

ｎ ＝ １ のとき　５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31 ＝ 48　なので16の倍数である。
ｎ ＝ ｋ のとき　５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31　は16の倍数であると仮定する。
５^ｋ ＋ 12ｋ ＋ 31 ＝ 1６ｍ　と置くことができる。
ｎ ＝ ｋ＋１ のとき
５^{（ｋ＋１）} ＋ 12（ｋ＋１） ＋ 31　＝→　５×５^ｋ ＋ 12ｋ ＋ 43
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　５×（ 1６ｍ−12ｋ−31 ）＋ 12ｋ ＋ 43
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　５×1６ｍ − 60ｋ − 155 ＋ 12ｋ ＋ 43
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　５×1６ｍ − 48ｋ − 112
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　16 ×（ ５ｍ−３ｋ−７ ）
というわけで、 ｎ ＝ ｋ＋１ のときも ５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31 は16で割り切れる。
以上、 数学的帰納法より、 ５^ｎ ＋ 12ｎ ＋ 31　は全ての ｎ に対して 16 の倍数であることが証明された。