論理学 へ戻る【 問 題 １ 】
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Ａ君、Ｂ君、Ｃ君がいます。1000円入った封筒 と 2000円入った封筒 と 4000円入った封筒 と 8000円入った封筒 と 16000円入った封筒 の５枚の封筒があります。Ａ君とＢ君はそのことは知っているのですが、どの封筒にどれだけの金額が入っているのかを知りません。お金は全部Ｃ君のものですす。まず、Ａ君が３枚の封筒を無作為に選びＣ君に渡します。次に残りの封筒の中からＢ君が１枚を選び、最後に残った封筒をＡ君が手にします。そして３人はそれぞれ手にした封筒の中にいくらの金額が入っているのかをこっそりと確認します。そうすると、Ｃ君は 1000円入った封筒 と 16000円入った封筒 を持っていて、4000円入った封筒 は持っていませんでした。そこでＣ君は２人にこう言いました。「君たちが手にしている金額は 1 : 2 の比になっているよ。自分が持っている封筒の中のお金を君たちにあげるけど、１分以内に２人とも交換を希望した場合には交換することができるよ。どうする？」はたして２人は交換したのでしょうか？
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Ａ君にとってもＢ君にとっても、交換することによってさらに手に入れることのできる金額の期待値は、Ａ君が8000円を手にしている場合も4000円を手にしている場合も2000円を手にしている場合も、すべて０円よりも大きいのです。（ 16000円入った封筒は自分が持っていることを知っているＣ君にとっては、彼らの期待値は幻の期待が入っているので間違いなのですが、彼らにとっては間違いではありません。） たとえば、Ａ君が4000円 Ｂ君が8000円 持っている場合を考えてみましょう。Ａ君にとって交換することによってさらに手に入れることのできる金額の期待値は −2000円 × 1/2 ＋ 4000円 × 1/2 ＝→ 1000円 で、Ｂ君にとって交換することによってさらに手に入れることのできる金額の期待値は −4000円 × 1/2 ＋ 8000円 × 1/2 ＝→ 2000円 です。
そういうわけで、２人の間には交換が成立するように思われるのですが、しかし、実際はそこにゲーム理論が入ってくるので、交換はされないことになります。ゲーム理論は具体的に次のように展開されます。
● Ａ君が8000円を手にしているとき：
もし最初に自分が交換を希望すると言ったら、Ｂ君は16000円を持っている場合には交換を絶対に拒否し、4000円を持っている場合には交換を希望する場合がありそのときは自分が損をする。よって交換しない方針でいく。もし最初にＢ君が交換を希望した場合は、Ｂ君は必ず4000円を持っているので、交換交換を拒否する。
● Ａ君が4000円を手にしているとき：
もし最初に自分が交換を希望すると言ったら、Ｂ君は8000円を持っている場合には交換を拒否し、2000円を持っている場合には交換を希望する場合がありそのときは自分が損をする。よって、交換しない方針でいく。もし最初にＢ君が交換を希望した場合は、Ｂ君は2000円を持っているので、交換を拒否する。
● Ａ君が2000円を手にしているとき：
もし最初に自分が交換を希望すると言ったら、Ｂ君は4000円を持っている場合には交換を拒否し、1000円を持っている場合には交換を絶対に希望するので自分が損をする。よって、交換しない方針でいく。もし最初にＢ君が交換を希望した場合は、Ｂ君は1000円を持っているので、交換を拒否する。
ということで、正解は「交換はされなかった」です。
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Ａ君、Ｂ君、Ｃさんがいます。封筒が７枚あります。封筒の中にはそれぞれ ￥1000 ￥2000 ￥4000 ￥8000 ￥16000 ￥32000 ￥64000 入っています。お金はすべてＣさんのものです。Ｃさんだけはどの封筒にいくらのお金が入っているのかを知っています。そして、Ｃさんはこの７枚の封筒の中から、Ａ君に ￥4000 が入った封筒を渡し、Ｂ君に ￥8000 が入った封筒を渡します。
そこでＣさんは２人にこう言います。「 自分が手にしている封筒の中身をこっそりと見てもいいですが、絶対に自分が手にしている金額を言ってはいけません。あなた方の選んだ封筒の中に入っている金額は １：２ の比にしています。ただし、￥1000 と ￥2000 なのか はたまた ￥32000 と ￥64000 なのか その６通りは今さっきサイコロを振って決めました。封筒の中のお金をさし上げますが、２人とも交換を希望する場合には封筒を交換してから中のお金を手にしてください。一方だけが交換を希望する場合は、交換は無しです。」
Ａ君の考え：
今私が手にしているのは ￥4000 である。ということは、 Ｂ君が手にしているのは 1/2 の確率で ￥2000 、同じ 1/2 の確率で ￥8000 である。もし、Ｂ君と封筒を交換したならば、今よりも増える金額の期待値は、 −￥2000 × 1/2 ＋ ￥4000 × 1/2 ＝→ ￥1000 よって、Ｂ君と封筒を交換しよう。
Ｂ君の考え：
今私が手にしているのは ￥8000 である。ということは、Ａ君が手にしているのは 1/2 の確率で ￥4000 、同じ 1/2 の確率で ￥16000 である。もし、Ａ君と封筒を交換したならば、今よりも増える金額の期待値は、 −￥4000 × 1/2 ＋ ￥8000 × 1/2 ＝→ ￥2000 よって、Ａ君と封筒を交換しよう。
というわけで、２人は封筒を交換することになりました。その結果、Ａ君は最初より ￥4000 多くなって喜び、Ｂ君は最初より ￥4000 少なくなって悔しがりました。
以上の話、なんか怪しくないですか？ 結果的に一方が得をして一方が損をしましたが、そこはおかしくないのですが、２人とも交換により獲得金額が増える期待が持てるところがおかしいと思いませんか？ 期待値においても、一方が得をするなら他方は損をしなければならないのではないでしょうか？
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この問題は実は「２つの封筒のパラドックス」です。￥2000 や ￥16000 の入った封筒はＣさんが持っていることを知っているＣさんや読者からすると滑稽かもしれませんが、Ａ君とＢ君は２人とも幻を期待して、交換した方が得だと考えて交換しようとすることになります。２人がはじき出した期待値は「数学的期待値」としては正しくありませんが「心理的期待値」としては正しくて、２人が封筒を交換しようとする理由となります。
しかし、現実には交換は起こりません。￥8000 を手にしているＢ君は、次のように考えるからです。
もし、Ａ君が ￥16000 を持っているとすれば、Ａ君は、こう考えるだろう。「もし、Ｂ君が ￥32000 を持っているとすれば、Ｂ君は、こう考えるだろう。『もし、Ａ君が ￥64000 を持っているとすれば、交換を絶対に希望しない。だから、もしＡ君が交換を希望してきた場合はＡ君が ￥16000 を持っているということなので交換を拒否しなければならない。』だから、もしＢ君が交換を希望してきた場合はＢ君が ￥8000 を持っているということなので交換を拒否しなければならない。」 だから、Ａ君が交換を希望してきた場合はＡ君が ￥4000 を持っているということなので交換を拒否しなければならない。
この問題に少し手を加えて、Ｃさんが無作為に（￥1000, ￥2000 ），（￥2000, ￥4000 ），（￥4000, ￥8000 ），（￥8000, ￥16000 ），（￥16000, ￥32000 ），（￥32000, ￥64000 ）の６種類の中から選んで、さらに無作為に２つの封筒をＡ君とＢ君に振り分けるようにした場合でも、同様に交換はなされないことになります。