を で割ると、 商が で、 余りが でした。 これを式で表すと次のようになります。
　　　　　
この式に を代入すると、 次のようになります。
　　　　　
　 以上のことより、 「 を で割った余りは である。」 ということができます。 これを 「 剰余定理 」 といいます。


剰余定理を用いなければならない過去の入試問題には、 次のようなものがありました。

　 整式 を で割った余りが であり、 で余りが ４ であるとき、
を で割ったときの余りを求めよ。　　（ 2010年 京都産業大 ）

（ 解 答 ）

剰余定理より、 　 である。 　・ ・ ・ ・ ・
　 を で割ったときの 商を 余りを とおくと、
　　　　
より、 　である。
と より、 　である。
したがって、 　である。
したがって、 答えは　　である。