自分勝手ですが、「 巡回転数 」を、次のように定義することにします。 例えば、
　　　　37518 の「 ５分の１巡回転数 」を 75183 とします。
　　　　72504896 の「 ８分の３巡回転数 」を 4896725 とします。
　　　　72504896 の「 ８分の５巡回転数 」を 89672504 とします。

今から、「 巡回転数 」についての問題を２つ出します。

（ 問 題 １ ）

　 ある６桁の自然数がある。 その数の 「 ６分の３巡回転数 」 をその数に加えると 999999 になる。 その数は 999 で割り切れることを示せ。

（ 解 答 ）

条件を満たす数（ m とする ）を次にように置く。
　　a×10⁵＋b×10⁴＋c×10³＋d×10²＋e×10¹＋f×10⁰
　　　　　　※　a は 1 〜 9 の自然数 ， それ以外は 0 〜 9 の自然数
すると、題意から次に式が成り立つ。
　　　(a＋d)×10⁵＋(b＋e)×10⁴＋(c＋f)×10³＋(d＋a)×10²＋(e＋b)×10¹＋(f＋c)×10⁰ ＝ 999999
よって、
　　　a＋d ＝ b＋e ＝ c＋f ＝ ９
よって、
　　　d ＝ ９−a　かつ　e ＝ ９−b　かつ　f ＝ ９−c
よって、
　　　
これを計算すると次のようになる。
　　　
というわけで、 m は 999 で割り切れることが判った。


プログラムで確かめてみると次のようになりました。






プログラムの内容 ：

（ 問 題 ２ ）

　 数列 ：　１ ２ ３ ４ ５ ６　 の全ての項を置換したとき、 �@ 巡回置換になっている場合の数は何通りか？　また、 �A それらの巡回置換になっている数列から無作為に１つを選んで数列の順に数を並べて６桁の数を作ったとき、それが 123456 の「 巡回転数 」になっている確率はいくらか？

（ ヒント ）
　 全ての項が置換される巡回置換の一例は、 １ は ５ に置換され、 ５ は ３ に置換され、 ３ は ６ に置換され、 ６ は ２ に置換され、 ２ は ４ に置換され、 ４ は １ に置換されるケースです。

（ 解 答 ）

　 巡回置換になっている場合の数は、 ２ ３ ４ ５ ６ の５つの数の順列の場合の数に等しい。
したがって、 �@ の答えは次のようになる。
　　　　　　　　５ × ４ × ３ × ２ × １　＝　120 通り

答えを確かめるための十進BASIC のプログラム ：



　 123456 の「 巡回転数 」は、 234561 ， 345612 ， 456123 ， 561234 ， 612345 ， 123456 の ６つですが、 123456 は全ての項が置換された置換ではありませんので除きます。 したがって、 �A の答えは 24分の１ になります。