論理学 へ戻る【 問 題 】
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n!＋1，n!＋2，n!＋3，・・・，n!＋(n−1)，n!＋n （ ただし n は自然数 ）
全体集合を、以上の n!＋1 から n!＋n までの n 個の自然数とする。
この場合、素数であるための必要条件は n!＋1 であることを証明せよ。
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n ＝ 1 のとき、 1!＋1 ＝ 2 は素数
n ＝ 2 のとき、 2!＋1 ＝ 3 は素数
n ＝ 3 のとき、 3!＋1 ＝ 7 は素数
n ＝ 4 のとき、 4!＋1 ＝ 25 は素数ではない
以上の例より、 n!＋1 は素数である場合があることが分かる。
したがって、素数であるための必要条件が n!＋1 であることを証明するには、n!＋2，n!＋3，・・・，n!＋(n−1)，n!＋n がすべて素数ではないことを言えばいい。
1，2，3，・・・ n−1，n はすべて n! の約数である。
したがって、
n!＋2 は 2 よりも大きくて約数に 2 を持つので素数ではない。
n!＋3 は 3 よりも大きくて約数に 3 を持つので素数ではない。
n!＋4 は 約数に 4 を持つので素数ではない。
n!＋5 は 5 よりも大きくて約数に 5 を持つので素数ではない。
n!＋6 は 約数に 6 を持つので素数ではない。
n!＋7 は 7 よりも大きくて約数に 7 を持つので素数ではない。
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n!＋(n−1) は n−1 よりも大きくて約数に n−1 を持つので素数ではない。
n!＋n は n よりも大きくて約数に n を持つので素数ではない。
というわけで、n!＋2，n!＋3，・・・，n!＋(n−1)，n!＋n はすべて素数ではないことが分かった。
ということは、素数であるための必要条件は n!＋1 であるということである。
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n ＝ 7 のとき
5041，5042，5043，5044，5045，5046，5047 はすべて素数ではありません。
n ＝ 11 のとき
39916801，39916802，39916803，39916804，39916805，39916806，39916807，39916808，39916809，39916810，39916811 のうち 39916801 だけが素数です。
プログラムの内容 ：
【 注 意 】
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全体集合が n 個を超える場合、たとえば次のような場合、
3!＋1，3!＋2，3!＋3，3!＋4，3!＋5，3!＋6
素数であるための必要条件は n!＋1 であるというのは間違いになります。
なぜなら、3!＋5 ＝ 11 は素数だからです。