（１） 表を使って階乗を素因数分解する

　 ９！ を素因数分解するのに、 次のような表を作る方法があります。



	９	８	７	６	５	４	３	２	１
２
４
８
３
９
５
７


　 この表の作り方ですけれども、 １ 段目に ９ 〜 １ の数を並べ、 ２段目に素数の２で割り切れる数に の印を付け、３段目に２の２乗で割り切れる数に の印を付け、　・ ・ ・ ・　というふうにします。

　 表ができたら、 あとはそれぞれの数を数えて次のように書くと出来上がりです。

　　　　　　　

　 以上の原理を用いて、 階乗の素因数分解をしてくれるプログラムを 十進BASIC で作りました。



　 さて、 200 !　は ５で何回まで割り切ることができるでしょうか？

　　　　[ 200 / 5 ] ＋ [ 200 / 25 ] ＋ [ 200 / 125 ]　＝→　40 + 8 + 1　＝→ 　49

　 答えは 49 回です。 次のプログラムで答えを確かめてみましょう。

（２） ルジャンドルの定理

20! ＝ 2¹⁸×3⁸×5×7×11×13×17×19



	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2		〇		〇		〇		〇		〇		〇		〇		〇		〇		〇
4				〇				〇				〇				〇				〇
8								〇								〇
16																〇
3			〇			〇			〇			〇			〇			〇
9									〇									〇
5					〇
7							〇
11											〇
13													〇
17																	〇
19																			〇


n! ＝ 2^a×3^b×5^c×7^d×・・・・
　　　
　　　
　　　　　　※ ガウス記号 [ ] は、中の数字を超えない最大の整数を返す関数です。

（３） 基礎問題

【 問 題 】
　　　全体集合を自然数とする。
　　　３^ｍ × ８^ｎ の下１桁は０でないことを証明せよ。

【 解 答 】
　　　下１桁が０である数は 10^ｋ× ａ　（ ａ は10で割り切れない数 )　と表すことができる。
　　　つまり、 下１桁が０である数は ２^ｋ×５^ｋ× ａ　と表すことができる。
　　　３^ｍ × ８^ｎ には素因数の５が含まれていないので、 ２^ｋ×５^ｋ× ａ　と表すことができない。
　　　したがって、 ３^ｍ × ８^ｎ の下１桁は０でない。
　　　ちなみに、 下１桁が０である数とは 10で割り切れる数のことである。

（４） 応用問題

【 問 題 】
　　　50 ! は下何桁までが０か？

【 解 答 】
　　　50 ! を ２^ｋ×５^ｋ× ａ　（ ａ は10で割り切れない数 )　の形に変形する。

　　　50 ! を構成している要素の中に
　　　　　　２で割り切れる数は ２×１、２×２、・・・ ２×25 の 25 個ある。
　　　　　　４で割り切れる数は ４×１、４×２、・・・ ４×12 の 12 個ある。
　　　　　　８で割り切れる数は ８×１、８×２、・・・ ８×６ の ６ 個ある。
　　　　　　16で割り切れる数は 16×１、16×２、16×３ の ３ 個ある。
　　　　　　32で割り切れる数は 32×１ の １ 個ある。
　　　　　　　　　　　　　　　　これらの 「 のべの合計 」 は 47 個である。
　　　　　　５で割り切れる数は ５×１、５×２、・・・ ５×10 の 10 個ある。
　　　　　　25で割り切れる数は 25×１、25×２ の ２ 個ある。
　　　　　　　　　　　　　　　　これらの 「 のべの合計 」 は 12 個である。
　　　したがって、　50 ! ＝ ２⁴⁷×５¹²× ａ　（ ａ は10で割り切れない数 )
　　　したがって、　50 ! ＝ ２¹²×５¹²× ｂ　（ ｂ は10で割り切れない数 )
　　　したがって、　50 ! ＝ 10¹²× ｂ　（ ｂ は10で割り切れない数 )
　　　したがって、　50 ! は下 12 桁までが０である。