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1，2，3，・・・，ｍ，・・・，ｎ のｎ個の自然数がこの順に時計回りに並べられた円数列があります。
ｍ と ｎ は互いに素とします。
ｍ の上にコマを置き、 ノートに ｍ と記入します。 時計回りに ｍ だけコマを進め、 止まった所の数字をノートに記入します。 これを繰り返します。
すると、 およそ ｍ 周回ったところで、 コマは ｎ の所に止まります。 ノートに ｎ と記入し、 これまでに記入した数字を見てください。 １ ～ ｎ の数字が １ 個ずつ記入されているはずです。
ｍ と ｎ は互いに素とします。
ｍ の上にコマを置き、 ノートに ｍ と記入します。 時計回りに ｍ だけコマを進め、 止まった所の数字をノートに記入します。 これを繰り返します。
すると、 およそ ｍ 周回ったところで、 コマは ｎ の所に止まります。 ノートに ｎ と記入し、 これまでに記入した数字を見てください。 １ ～ ｎ の数字が １ 個ずつ記入されているはずです。
ｎ ＝ 9 、 ｍ ＝ 7 でやってみましょう。
7 5 3 1 8 6 4 2 9 ・ ・ ・
9－7 ＝ 2 です。 7 から反時計回りに 2 ずつ移動した結果に等しくなっています。
ｎ ＝ 9、 ｍ ＝ 4 でやってみましょう。
4 8 3 7 2 6 1 5 9 ・ ・ ・
9－4 ＝ 5 です。 4 から反時計回りに 5 ずつ移動した結果に等しくなっています。
ｎ ＝ 8、 ｍ ＝ 5 でやってみましょう。
5 2 7 4 1 6 3 8 ・ ・ ・
8－5 ＝ 3 です。 5 から反時計回りに 3 ずつ移動した結果に等しくなっています。
ｎ ＝ 8、 ｍ ＝ 3 でやってみましょう。
3 6 1 4 7 2 5 8 ・ ・ ・
8－3 ＝ 5 です。 3 から反時計回りに 5 ずつ移動した結果に等しくなっています。
関数 M（ａ, ｂ） を ａ を ｂ で割ったときの余りを出力するものとします。
ｍ ＜ ｎ とします。
ｍ と ｎ とが互いに素であるとき、
M（ ｋ × ｍ , ｎ ） ＊ ｋ ＝ 1，2，3，・・・，ｎ の値は、
０ ～ ｎ－１ の整数であり、 同じ数になることはありません。
ｍ ＜ ｎ とします。
ｍ と ｎ とが互いに素であるとき、
M（ ｋ × ｍ , ｎ ） ＊ ｋ ＝ 1，2，3，・・・，ｎ の値は、
０ ～ ｎ－１ の整数であり、 同じ数になることはありません。
たとえば、 M（7, 9）＝ 7 ですが、
M（ 1×7, 9）＝ 7
M（ 2×7, 9）＝ 5
M（ 3×7, 9）＝ 3
M（ 4×7, 9）＝ 1
M（ 5×7, 9）＝ 8
M（ 6×7, 9）＝ 6
M（ 7×7, 9）＝ 4
M（ 8×7, 9）＝ 2
M（ 9×7, 9）＝ 0
では、なぜそうなるのでしょう？ 証明してみましょう。
m,n,a,b,c,d,k,p を自然数とします。
m,n は m < n で、互いに素であるとします。
a,b は次の①を満たすものとします。
1 ≦ a ＜ b ≦ n ・ ・ ・ ①
m を １倍、2倍、3倍、・ ・ ・、n 倍 した数を n で割った余りのうち、
等しいものが存在すると仮定します。
すると、 次の②と③の式を満たす a,b,c,d,k が存在することになります。
ma ＝ nc ＋ k ・ ・ ・ ②
mb ＝ nd ＋ k ・ ・ ・ ③
③ から ② を辺々引いて、
m（b－a）＝ n（d－c）
この式が成り立つための必要十分条件は次のようになります。
b－a ＝ np かつ d－c ＝ mp
そのための必要条件は次のようになります。
b ＝ a ＋ np
b ＝ a ＋ np ＞ n だから、 ① と矛盾します。
よって、 m を１倍、2倍、3倍、・・・ n 倍した数は、n で割るとすべて余りが異なります。
関数 M（ａ, ｂ） を ａ を ｂ で割ったときの余りを出力するものとします。
ｍ ＜ ｎ とします。
ｍ ＞ M（ｎ, ｍ） です。
ｍ と ｎ とが互いに素であるとき、
ｍ と M（ｎ, ｍ） とは互いに素であり、 （ ユークリッドの互除法の原理より ）
M（ ｋ × M（ｎ, ｍ）, ｍ ） ＊ ｋ ＝ 1，2，3，・・・，ｍ の値は、
０ ～ ｍ－１ の整数であり、 同じ数になることはありません。
ｍ ＜ ｎ とします。
ｍ ＞ M（ｎ, ｍ） です。
ｍ と ｎ とが互いに素であるとき、
ｍ と M（ｎ, ｍ） とは互いに素であり、 （ ユークリッドの互除法の原理より ）
M（ ｋ × M（ｎ, ｍ）, ｍ ） ＊ ｋ ＝ 1，2，3，・・・，ｍ の値は、
０ ～ ｍ－１ の整数であり、 同じ数になることはありません。
たとえば、 M（9, 7）＝ 2 ですが、
M（ 1×2, 7）＝ 2
M（ 2×2, 7）＝ 4
M（ 3×2, 7）＝ 6
M（ 4×2, 7）＝ 1
M（ 5×2, 7）＝ 3
M（ 6×2, 7）＝ 5
M（ 7×2, 7）＝ 0
参考文献 ： 日常的物理学文集 ＞ 音楽と物理学 ＞ 五度圏 と 回転総取得条件