論理学 へ戻る（１） 整数の集合は自然数の集合と同等である
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自然数の集合は「可算集合」と言われ、自然数の集合の濃度は「可算濃度」と言われます。
自然数の集合の要素の小さい順に次のルールに従って写像を作ります。
「 奇数ならば１を加えて２で割り、偶数ならば−２で割ってから１を足す。」
すると、次のようになります。
1 → 1 2 → 0 3 → 2 4 → −1 5 → 3 6 → −2 ・・・・
これは、自然数の集合 から 整数の集合 への写像が全単射であることを示しています。したがって、整数の集合は、可算集合で、自然数の集合と同等であり、整数の集合の濃度は可算濃度で、自然数の濃度と等しいことが分かります。
( 行，列 ) ＝ ( 1, 1 ) → ( 1, 2 ) → ( 2, 1 ) → ( 3, 1 ) → ( 2, 2 ) → ( 1, 3 ) → ( 1, 4 ) → ( 2, 3 ) → ( 3, 2 ) → ( 4, 1 ) → ( 5, 1 ) → ( 4, 2 ) → ・・・・ の順に番号を１→２→３→・・・ と付けていき、ただし、番号が付いた数と同じ数の場合は飛ばして次に進むということをすると、全ての 0 より大きい有理数の集合の要素に対して、これは〇番目の要素であると示すことができます。
ということは、自然数の集合 から 0 より大きい有理数の集合 への写像は全単射であるということです。したがって、 0 より大きい有理数の集合は、可算集合で、自然数の集合と同等であり、 0 より大きい有理数の集合の濃度は可算濃度で、自然数の濃度と等しいことが分かります。
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０を１番目の数とし、(２）の表の ( 行，列 ) ＝ ( 1, 1 ) の数を２番目の数とし、２番目の数に−１をかけた数を３番目の数とし、(２）の表の ( 行，列 ) ＝ ( 1, 2 ) の数を４番目の数とし、４番目の数に−１をかけた数を５番目の数とし、(２）の表の ( 行，列 ) ＝ ( 2, 1 ) の数を６番目の数とし、ただし、番号が付いた数と同じ数の場合は飛ばして次に進むということをして、同様に番号を付けていけば、すべての有理数の集合の要素に対してこれは〇番目の要素であると示すことができます。
ということは、自然数の集合 から 有理数の集合 への写像は全単射であるということです。したがって、有理数の集合は、可算集合で、自然数の集合と同等であり、有理数の集合の濃度は可算濃度で、自然数の濃度と等しいことが分かります。
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0 以上 1 以下の実数に １ から ｎ（ ｎ は無限大 ）までの番号を付けます。すると次のようになったとします。
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１番目の要素： ｒ1 ＝ a11×10−1 ＋ a12×10−2 ＋ a13×10−3 ＋ a14×10−4 ＋ ・・・
２番目の要素： ｒ2 ＝ a21×10−1 ＋ a22×10−2 ＋ a23×10−3 ＋ a24×10−4 ＋ ・・・
３番目の要素： ｒ3 ＝ a31×10−1 ＋ a32×10−2 ＋ a33×10−3 ＋ a34×10−4 ＋ ・・・
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ｎ番目の要素： ｒn ＝ an1×10−1 ＋ an2×10−2 ＋ an3×10−3 ＋ an4×10−4 ＋ ・・・
ｒ? ＝ b?1×10−1 ＋ b?2×10−2 ＋ b?3×10−3 ＋ b?4×10−4 ＋ ・・・
（ ただし、 b?1 ≠ a11 かつ b?2 ≠ a22 かつ b?3 ≠ a33 かつ ・・・ ）
というわけで、すべての実数の集合の要素に対してこれは〇番目の要素であると示すことができないことが分かります。ということは、自然数の集合 から 実数の集合 への写像は全単射ではないということです。したがって、 実数の集合は、可算集合ではなく、自然数の集合と同等ではなく、実数の集合の濃度は可算濃度ではなく、自然数の濃度と等しくはないことが分かります。実数の集合は「非可算集合」と言われ、実数の濃度は「連続体濃度」と言われます。 加算濃度 ＜ 連続体濃度 の大小関係になっています。連続体とはいっても、すぐ隣の実数との距離は限りなく０に近いのですが０ではありません。もし、距離が０ならば同じ数になってしまうからです。