「 A について説明せよ。」という問題に対し、答え方の１つとして、「 A は A1 と A2 とに分けることができる。そして、A1 は A11 と A12 とに分けることができる。また、A2 は A21 と A22 と A23 とに分けることができる。さらに、A11 は A111 と A112 とに分けることができる。それから、A12 は ・・・・」というふうに分類を示す方法があります。分類するとは「集合論的構造」を示すということです。 集合「A111」は 集合「A11」に含まれ、集合「A11」は 集合「A1」に含まれ、集合「A1」は 集合「A」に含まれます。

　「異なる物でも同じ物として認めるが数学です。だから、数学は数を数えることから始まるのです。」リンゴが１個、２個、３個、・・・。リンゴが１個、２個、３個と数えることができるのも、その個体たちが、「リンゴという集合の要素である。」という視点に立つからです。リンゴの個数を数えるとは、１つ１つのリンゴを 集合「リンゴ」の要素として取り扱い、要素の数を数えるということです。

　確率の問題は、集合の要素として取り扱うよりも、すべて個性のあるものとして取り扱う方が間違いが少なくなります。しかし、何通りあるのかを数えるのに時間がかかり、場合によっては集合の要素として取り扱うほうが簡単なこともあります。その例を以下に示します、

　「赤玉が３個と白玉が3個入っている袋の中から無作為に玉を２個取り出したとき、それが赤玉と白玉である確率を求めよ。」という問題の解法についてです。

　すべての玉に個性があるとして考えます。
６個の玉から２個の玉を取り出すすべての組み合わせの数は、₆C₂ ＝→ 15（ 通り ）
そのうち、赤玉と白玉のペアになるのは何通りかというと、
赤玉３個の中から１個を選ぶ３通りと白玉３個の中から１個を選ぶ３通りとを掛け合わせた９通り。
したがって、答えは 9/15 ＝→ 3/5　ということになります。

　さらに、最初に取り出す玉と最後に取り出す玉の区別もして考えることにします。
すべての場合の数は、₆P₂ ＝→ 30（ 通り ）
そのうち、赤玉と白玉のペアになるのは何通りかというと、
最初に取り出す玉が赤玉で最後に取り出す玉が白玉の場合は、３×３ ＝→ ９（ 通り ）
最初に取り出す玉が白玉で最後に取り出す玉が赤玉の場合は、３×３ ＝→ ９（ 通り ）
したがって、赤玉と白玉のペアになるのは、９＋９ ＝→　18（ 通り ）
したがって、答えは 18/30 ＝→ 3/5　ということになります。

　同じ色の玉には個性がないとして考えます。つまり、集合「赤玉」の要素と集合「白玉」の要素として玉を取り扱います。
最後に選ぶ玉が最初に選んだ玉と異なる色になる確率を求めればいい。
それは５個ある玉のうち多い色の玉を選ぶ確率になるので、 3/5 になる。