ケーリー ・ ハミルトンの定理 ：

　　　　　のとき、

　　　　

（ 証 明 ）
　　　　


さて、 　のとき、 次の行列を考えます。

　　　　　

第 ｎ 項の の値を求めてみましょう。

ケーリー ・ ハミルトンの定理より、
　　　　　
　　　　　

　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　

以上から、 次のことが言えます。
　　 と置くと、
　　　　　

　 そこで、 次のような 十進BASIC のプログラムを作って実行しますと、 具体的な値が表示されます。

　 他の方法で行列の ｎ 乗を求めることもできます。
そのためには、　線形代数学 ＞ 正方行列のｎ乗　をご覧ください。