線形代数学 へ戻る（１） スペクトル分解を利用する方法
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次のような行列Ａ がある。 Ａのｎ乗を求めてみよう。
まず、 行列Ａ を表現行列とする演算テンソルの代表的固有ベクトルを２つ求める。
固有値を λ とすると、
の行列式が ０ になるので、 次の式が成り立つ。
これで２つの固有値が見つかった。
ここで、 Ｐ ＋ Ｑ ＝ Ｅ と ２Ｐ＋１Ｑ ＝ Ａ（ ２と１はＡの固有値 ） とを満たす ２つの要列 Ｐ と Ｑ を見つける。
Ｐ ＋ Ｑ ＝ Ｅ と ２Ｐ＋１Ｑ ＝ Ａ を連立させて解くと、
Ｑ ＝ ２Ｅ−Ａ Ｐ ＝ −Ｅ＋Ａ
よって、
※ 参照： 線形代数学 ＞ 固有値に関する行列の性質
すると、 次の５つの式が成り立つ。
※ 参照： 線形代数学 ＞ 射影行列とは
以上が答えである。 たとえば、ｎ＝２ のとき、
十進BASIC ＞ 十進BASIC＿行列 ＞ 行列のｎ乗
（３） 行列の対角化による方法 （ お勧めです ）
線形代数学 ＞ 固有空間の利用法の１つ
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次のような行列Ａ がある。 Ａのｎ乗を求めてみよう。
まず、 行列Ａ を表現行列とする演算テンソルの代表的固有ベクトルを２つ求める。
固有値を λ とすると、
の行列式が ０ になるので、 次の式が成り立つ。これで２つの固有値が見つかった。
λ ＝ １ のとき、
λ ＝ ２ のとき、
そこで、 固有空間に座標変換するテンソルは
となり、次の式が成り立つ。
したがって、
ここで、
したがって、
