次の （１） のように、 奇数列 と 偶数列 とは異なる法則によって決められているのですが、 それらを１つに統合すると、 隣合う数たちにはある関係性が成り立っています。


（１） ちょっと複雑な数列 その１

　　　 は 以上の整数
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

　　　上記のとき、 数列　　は、 次のようになります。

　　　　　　　1　　2　　7　　20　　61　　182　　547　　1640　　・ ・ ・ ・


（２） ちょっと複雑な数列 その２

　　　 は 以上の整数
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

　　　上記のとき、 数列　　は、 次のようになります。

　　　　　　　1　　2　　7　　20　　61　　182　　547　　1640　　・ ・ ・ ・


（３） ちょっと複雑な数列 その３

　　　 は 以上の整数
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

　　　上記のとき、 数列　　は、 次のようになります。

　　　　　　　1　　2　　7　　20　　61　　182　　547　　1640　　・ ・ ・ ・


（４） ちょっと複雑な数列 その４

　　　 は 以上の整数
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

　　　上記のとき、 数列　　は、 次のようになります。

　　　　　　　1　　2　　7　　20　　61　　182　　547　　1640　　・ ・ ・ ・



以上の （１） から （４） の４つの数列は、 すべて同じです。 なぜでしょうか？

まず、 （２） から （３） を導きます。

　　　　　
　　　　　

より、
　　　　　
と を 辺々加えると、
　　　　　

と を 辺々加えると、
　　　　　

と より、 これらの式たちは、 は 以上の整数 とすると、 の式１つで表すことができることが解ります。


次に、 （２） から （１） を導きます。

　　　　　
　　　　　

を に代入すると、
　　　　　
より、
　　　　　
を に代入すると、
　　　　　


その次に、 （３） から （４） を導きます。

　　　　　

は 以上の整数とすると、 は次のようにも表すことができます。
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　

より、
　　　　　
より、
　　　　　
と を辺々加えると、
　　　　　
より、
　　　　　
と を辺々加えると、
　　　　　

と より、 これらの式たちは、 は 以上の整数 とすると、 の式１つで表すことができることが解ります。


（１） から （４） の数列が本当に同じものなのかどうか、 十進BASIC のプログラムで確かめてみました。