【 問 題 】

10 ⁿ を７で割ると１余る、自然数 n を示せ。

【 解 答 】

１÷７ ＝→ 0.142857142857142857・・・・ より、 １ ＝ ７× 0.142857142857142857・・・・
１×10 ⁶　＝→　７×0.142857142857142857・・・・ × 10 ⁶
　　　　　＝→　７× 142857.142857142857142857・・・・
　　　　　＝→　７× ( 142857 ＋ 0.142857142857142857・・・・ )
　　　　　＝→　７×142857 ＋ ７× 0.142857142857142857・・・・
　　　　　＝→　７×142857 ＋ １
というわけで、10 ⁶ は７で割ると１余ることが分かった。

( 10 ⁶ ) ^k　＝→　( ７×142857 ＋ １ ) ^k　（ k は自然数 ）
　　 　　＝→　_kC₀ (７×142857 ) ⁰ ＋ _kC₁ (７×142857 ) ¹ ＋ _kC₂ (７×142857 ) ² ＋・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・＋ _kC_k (７×142857 ) ^k
　　 　　＝→　１ ＋ _kC₁ (７×142857 ) ¹ ＋ _kC₂ (７×142857 ) ² ＋・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・＋ _kC_k (７×142857 ) ^k
というわけで、10 ^6k は７で割ると１余ることが分かった。

また、k ＝ ０ のとき、10 ^6k ＝ １ で、１は７で割ると１余る数である。

したがって、答えは　n ＝ 10 ^6k　（ k は０以上の整数 ）