【 問 題 １ 】

　数珠があります。白玉 2n 個、黒玉 2m 個 が無作為に円状に並べられています。うまく２か所で切断すると、白玉 n 個、黒玉 m 個 ずつの均等な２つに分割することができることを証明してください。

　　　

【 解 答 】

最初の持ち点を k 点 とします。
白玉を通過すると m 点 もらえ、黒玉を通過すると n 点 失うとします。
任意に選んだ隣り合う２個の玉の間を出発点とします。
そこから、π / (n＋m) ラジアン ずつ反時計回りに数珠の円周上を移動していきます。
n＋m 回 移動すると反対側に至り、2n＋2m 回 移動すると元の場所に戻ります。
１周して元の場所に戻ったときには、持ち点は最初の k 点 に戻っています。
x 回移動したときの持ち点を R(x) とします。
F(x) ＝ R(x) − R(x＋n＋m)　とします。
F(0) ＝ R(0) − R(n＋m)
F(n＋m) ＝ R(n＋m) − R(2n＋2m)　＝→　R(n＋m) − R(0)　＝→　−F(0)　　・・・ �@
F(x＋1) − F(x)　＝　0　または　n＋m　または　−(n＋m)
　　　→　よって、x ＝ 0 から x を１つずつ増やしていったとき、
　　　　F(x) の値の符号が変わるときには必ず 0 を挟みます。　・・・ �A
F(n＋m) ＝ 0 のとき、
　　R(0) ＝ R(n＋m)　→　これは、出発点とその円周上の反対の点を結ぶ直線で切断すると、
　 　　　　　　　　　　　白玉 n 個、黒玉 m 個 ずつの均等な２つに分割されることを表します。
F(n＋m) ≠ 0 のとき、
　　�@ と �A より、F(0) と F(n＋m) との間に、F(α) ＝ 0 を満たす自然数 α が存在します。
　　F(α) ＝ R(α) − R(α＋n＋m) ＝ 0
　　よって、R(α) ＝ R(α＋n＋m)
　　これは、円周上を出発点から α π / (n＋m) ラジアン 反時計回りに回転した場所 と α π / (n＋m) ＋ π ラジアン 反時計回りに回転した場所 とを結ぶ直線で切断すると、白玉 n 個、黒玉 m 個 ずつの均等な２つに分割されることを表します。

　というわけで、「白玉 2n 個、黒玉 2m 個 が無作為に並べられた数珠をどこかの直径で２分割すると、白玉 n 個、黒玉 m 個 ずつの均等な２つに分割することができる。」ということが証明されました。

【 問 題 ２ 】

　白玉 2n 個、黒玉 2m 個 が無作為に１列 に並べられています。その中の区間には 白玉 n 個、黒玉 m 個 となる部分が必ずあることを証明してください。

　　　

【 解 答 】

列の両端を合わせて円にして、問題１を証明すればよいのです。