置換群（ 対称群 ）の例として、あみだくじによる並べ替え や 正三角形の点対称・線対称 がある。
　しかし、前者と後者では演算式が少し異なるのである。前者は次に述べる �@ に従い、後者は �A に従っている。
　ならば、いっそのこと、 �@ に従うものを置換群といい、�A に従うものを対称群ということにしてはどうだろうか？

�@ 入れ替え方法Ａ
　　　並んでいる箱の中に入っている物の番号を指定して入れ替える方法
　　　　　　[ 1,2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ ( 2 3 1 )
　　　　　　[ 1,2,3 ]( 3 2 1 ) ＝→ ( 1 3 2 )
　　　　　　[ 2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ ( 1 3 2 )
　　　　　　[ 2,3 ]( 3 2 1 ) ＝→ ( 2 3 1 )

�A 入れ替え方法Ｂ
　　　並んでいる箱の番号を指定して中に入っている物を入れ替える方法
　　　　　　[ 1,2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ ( 2 3 1 )
　　　　　　[ 1,2,3 ]( 3 2 1 ) ＝→ ( 2 1 3 )
　　　　　　[ 2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ ( 1 3 2 )
　　　　　　[ 2,3 ]( 3 2 1 ) ＝→ ( 3 1 2 )


�@’ 入れ替え方法Ａの合成：

　　[ 2,3 ][ 1,2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ [ 2,3 ]( 2 3 1 ) ＝→ ( 3 2 1 )

　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　【一郎】　【二郎】　【三郎】
　　　　　　　　　　
　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　【二郎】　【三郎】　【一郎】
　　　　　　　　　　
　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　【三郎】　【二郎】　【一郎】


�A’ 入れ替え方法Ｂの合成：

　　[ 2,3 ][ 1,2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ [ 2,3 ]( 2 3 1 ) ＝→ ( 2 1 3 )

　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　【一郎】　【二郎】　【三郎】
　　　　　　　　　　
　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　【二郎】　【三郎】　【一郎】
　　　　　　　　　　
　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　【二郎】　【一郎】　【三郎】



�B 誤った入れ替え方法

　　　最初と最後で 箱 と 入っている物 を逆にしている

　　　　　　[ 1,2,3 ]( 1 2 3 ) ＝→ ( 3 1 2 )

　　　　　　　　一郎　　　二郎　　　三郎
　　　　　　　【箱１】　【箱２】　【箱３】
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　　　　【一郎】　【二郎】　【三郎】
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　箱１　　　箱２　　　箱３
　　　　　　　【二郎】　【三郎】　【一郎】
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　一郎　　　二郎　　　三郎
　　　　　　　【箱３】　【箱１】　【箱２】