① 平方数を4で割ると余りは 0 または 1 です。
② ２以外の素数は奇数で、4で割ると 1 または 3 余ります。
③ 4で割ると1余る素数は２つの平方数の和で表すことができます。
④ 4で割ると3余る素数は２つの平方数の和で表すことができません。
※ ③ と ④ がフェルマーの二平方和定理です。
① の証明：
(4n)2 ＝→ 16n2 ＝→ 4×4n2 ← 4で割ると余りは 0
(4n＋1)2 ＝→ 16n2＋8n＋1 ＝→ 4×(4n2＋2n)＋1 ← 4で割ると余りは 1
(4n＋2)2 ＝→ 16n2＋16n＋4 ＝→ 4×(4n2＋4n＋1) ← 4で割ると余りは 0
(4n＋3)2 ＝→ 16n2＋24n＋9 ＝→ 4×(4n2＋6n＋2)＋1 ← 4で割ると余りは 1
というわけで、平方数を4で割ると余りは 0 または 1 である。
※ 参照： 大学生のための数学 ＞ 数理論 ＞ ピタゴラス数の秘密
③ の証明は難しい。
④ の証明：
①より、２つの平方数の和は、４で割ると 0 または 1 または 2 余る。それ以外はないので、２つの平方数の和は4で割ると3余ることはない。したがって、4で割ると3余る数は２つの平方数の和で表すことができない。よって、4で割ると3余る素数は２つの平方数の和で表すことができない。
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