（１） 美しい等式の数学的帰納法による証明

　　　( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ n ) ²　＝　1³ ＋ 2³ ＋ 3³ ＋ ・・・ ＋ n³

n ＝ 1　のとき、左辺も右辺も 1 だから、この等式は成り立つ。
n ＝ k　のとき、この等式が成り立つと仮定する。
　　　( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ k ) ²　＝　1³ ＋ 2³ ＋ 3³ ＋ ・・・ ＋ k³

n ＝ k＋1　のとき、
　　　（左辺）＝　{ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ (k+1) }²
　　　　　　　＝　{ (k+1)(k+2) / 2 } ²
　　　　　　　＝　( k² ＋ 3k ＋ 2 ) ² / 4
　　　　　　　＝　( k⁴ ＋ 6k³ ＋ 13k² ＋ 12k ＋ 4 ) / 4
　　　（右辺）＝　1³ ＋ 2³ ＋ 3³ ＋ ・・・ ＋ k³ ＋ (k+1)³
　　　　　　　＝　( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ k ) ² ＋ (k+1)³
　　　　　　　＝　{ k(k+1) / 2 } ² ＋ (k+1)³
　　　　　　　＝　( k⁴ ＋ 2k³ ＋ k² ) / 4 ＋ k³ ＋ 3k² ＋ 3k ＋ 1
　　　　　　　＝　( k⁴ ＋ 6k³ ＋ 13k² ＋ 12k ＋ 4 ) / 4
　　　（左辺）＝（右辺）だからこの式が成り立っている。

というわけで、数学的帰納法にて、次の等式が成り立つことが分った。
　　　( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ n ) ²　＝　1³ ＋ 2³ ＋ 3³ ＋ ・・・ ＋ n³

（２） 奇数の群数列

１
３５
７９11
13151719
・
・
m 段目（ 第 m 群目 ）の左端（ 最初 ）の数は、
　　　1 ＋ 2×{ 1 + 2 + 3 + (m−1)}　＝→　1 ＋ m (m−1)　＝→　m² − m ＋ 1

m 段目（ 第 m 群目 ）の右端（ 最後 ）の数は、
　　　{ (m＋1)² − (m＋1) ＋ 1 } − 2　＝→　m² ＋ m − 1

m 段目（ 第 m 群目 ）の奇数の数(かず)は、 m 個

m 段目（ 第 m 群目 ）までの奇数の数(かず)は、
　　　1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ m　＝→　 m (m+1) / 2　(個)

m 段目（ 第 m 群目 ）の奇数の総和は、
　　　m × { ( m ² − m ＋ 1 ) ＋ ( m² ＋ m − 1 ) } / 2　＝→　m³

m 段目（ 第 m 群目 ）までの奇数の総和は、
　　　1³ ＋ 2³ ＋ 3³ ＋ ・・・ ＋ m³　　・・・ �@

m 段目（ 第 m 群目 ）までの奇数の総和は、
　　　1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ・・・ ＋ ( m ² ＋ m − 1 )
　　　　　　　　　＝→　( m ² ＋ m ) × { m ( m+1) / 2 } / 2
　　　　　　　　　＝→　{ m (m+1) / 2 } ²
　　　　　　　　　＝→　( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ m ) ²　　・・・ �A

�@ ＝ �A より、
　　　( 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ・・・ ＋ m ) ²　＝　1³ ＋ 2³ ＋ 3³ ＋ ・・・ ＋ m³