（１）期待値の問題

　３×３のマスがある。１マスの面積は 1 cm² である。４本の横線より２本の組み合わせ と ４本の縦線より２本の組み合わせ で囲まれる長方形（ 正方形を含む ）を無作為に作るとき、長方形の面積の期待値はいくらか？ また、長方形の一辺の長さの期待値はいくらか？

　　　

　　　面積 1 cm² の正方形（ 一辺の長さの平均 1 cm ）： 9 とおり
　　　面積 2 cm² の長方形（ 一辺の長さの平均 3/2 cm ）： 12 とおり
　　　面積 3 cm² の長方形（ 一辺の長さの平均 2 cm ）： 6 とおり
　　　面積 4 cm² の正方形（ 一辺の長さの平均 2 cm ）： 4 とおり
　　　面積 6 cm² の長方形（ 一辺の長さの平均 5/2 cm ）： 4 とおり
　　　面積 9 cm² の正方形（ 一辺の長さの平均 3 cm ）： 1 とおり

　　　面積の期待値は、
　　　　　　( 1 cm² × 9 ＋ 2 cm² × 12 ＋ 3 cm² × 6 ＋ 4 cm² × 4 ＋ 6 cm² × 4 ＋ 9 cm² × 1 ) ÷ 36
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　100 cm² ÷ 36　＝→　25/9 cm²　≒→　2.78 cm²
　　　一辺の長さの期待値は、
　　　　　　( 1 cm × 3 ＋ 3/2 cm × 12 ＋ 2 cm × 6 ＋ 2 cm × 4 ＋ 5/2 cm × 4 ＋ 3 cm × 1) ÷ 36
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝→　5/3 cm　≒→　1.67 cm²

　無作為に選択するということは、同様に確からしく選択されるということだから、どの長方形（ 正方形を含む ）も 36分の1 の確率で作られる。したがって、期待値は平均値に等しくなる。

　　　5/3 cm × 5/3 cm　＝→　25/9 cm²　だから、長さの期待値 と 面積の期待値 とは整合性がある。


シミュレーションプログラム：　　
　　一辺の長さの平均値：
　　面積の平均値：

（２）パラドックス的問題その１

　３×３のマスがある。１マスの面積は 1 cm² である。４本の横線より２本の組み合わせ と ４本の縦線より２本の組み合わせ で囲まれる正方形を無作為に作るとき、正方形の面積の期待値はいくらか？ また、正方形の一辺の長さの期待値はいくらか？

　　　

　　　面積 1 cm² の正方形（ 一辺の長さ 1 cm ）： 9 とおり
　　　面積 4 cm² の正方形（ 一辺の長さ 2 cm ）： 4 とおり
　　　面積 9 cm² の正方形（ 一辺の長さ 3 cm ）： 1 とおり

　　　面積の期待値は、
　　　　　　( 1 cm² × 9 ＋ 4 cm² × 4 ＋ 9 cm² × 1 ) ÷ 14　＝→　17/7 cm²　≒→　2.43 cm²
　　　一辺の長さの期待値は、
　　　　　　( 1 cm × 9 ＋ 2 cm × 4 ＋ 3 cm × 1 ) ÷ 14　＝→　10/7 cm　≒→　1.43 cm

　無作為に選択するということは、同様に確からしく選択されるということだから、どの正方形も 14分の1 の確率で作られる。したがって、期待値は平均値に等しくなる。

　　　10/7 cm × 10/7 cm　＝→　100/49 cm²
　　　10/7 cm × 10/7 cm　≠→　17/7 cm²
　　　一辺の長さが 1.56 cm ≒ 面積が 17/7 cm²
　　　これっておかしんじゃない !？
　　　　　　　　
　　　いや、これでいいのだ！


シミュレーションプログラム：　　
　　一辺の長さの平均値：
　　面積の平均値：


プログラムの内容 ：

（３）パラドックス的問題その２

正方形が10枚ある。
　　　対角線の長さが cm ＝ 面積が 1 cm²
　　　対角線の長さが 2 cm ＝ 面積が 4 cm²
　　　対角線の長さが 3 cm ＝ 面積が 9 cm²
　　　対角線の長さが 4 cm ＝ 面積が 16 cm²
　　　対角線の長さが 5 cm ＝ 面積が 25 cm²
　　　対角線の長さが 6 cm ＝ 面積が 36 cm²
　　　対角線の長さが 7 cm ＝ 面積が 49 cm²
　　　対角線の長さが 8 cm ＝ 面積が 64 cm²
　　　対角線の長さが 9 cm ＝ 面積が 81 cm²
　　　対角線の長さが 10 cm ＝ 面積が 100 cm²

　　　

この中から無作為に１つを選んだとき、正方形の対角線の長さの期待値はいくらか？
　　（ ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＋ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ）÷ 10　≒→　5.5 ( cm )

この中から無作為に１つを選んだとき、正方形の面積の期待値はいくらか？
　　（ 1 ＋ 4 ＋ 9 ＋ 16 ＋ 25 ＋ 36 ＋ 49 ＋ 64 ＋ 81 ＋ 100 ）÷ 10　≒→　38.5 ( cm² )

　無作為に選択するということは、同様に確からしく選択されるということだから、どの正方形も 10分の1 の確率で選択される。
したがって、期待値は平均値に等しくなる。けど、よく考えると不思議なことに気づく。

　　　対角線の長さが 5.5cm ＝ 面積が 30.25 cm²
　　　対角線の長さが 5.5cm ≠ 面積が 38.5 cm²
　　　対角線の長さが 6.2cm ≒ 面積が 38.5 cm²
　　　これっておかしんじゃない !？
　　　　　　　　
　　　いや、これでいいのだ！

（４）パラドックス的問題その３

【 問 題 １ 】
　２次元 x y 座標系の　0 < x < 1　かつ　0 < y < 1　の範囲内で無作為に点を選んで、原点と結ぶ線分を対角線とする長方形を作るとき、長方形の二辺の長さの平均値の期待値 と 長方形の面積の期待値 を シミュレーションで予想せよ。


　【 解 答 】
シミュレーションプログラム：　　
　　二辺の長さの平均値の平均：
　　面積の平均：
　　二辺の長さの平均値の平均の２乗：


したがって、
　　　二辺の長さの平均値の期待値の予想は、1/2
　　　面積の期待値の予想は、1/4

プログラムの内容 ：



【 問 題 ２ 】
　２次元 x y 座標系の　0 < x < 1　かつ　0 < y < 1　の範囲内で 直線 y ＝ x 上に無作為に点を選んで、原点と結ぶ線分を対角線とする正方形を作るとき、正方形の一辺の長さの期待値 と 正方形の面積の期待値 を シミュレーションで予想せよ。


　【 解 答 】
シミュレーションプログラム：　　
　　一辺の長さの平均：
　　面積の平均：
　　一辺の長さの平均の２乗：


したがって、
　　　一辺の長さの期待値の予想は、1/2
　　　　　　　　
　　　面積の期待値の予想は、1/3
　　　　　　　　

（５）庭のパラドックス

【 問 題 １ 】
　２次元 x y 座標系の　0 < x < 1　かつ　0 < y < 1　の範囲内で 直線 y ＝ x 上に無作為に点を選んで、原点と結ぶ線分を対角線とする正方形を作るときの、正方形の一辺の長さの期待値 と 正方形の一辺の長さが 1/2 以下になる確率 を求めよ。


　　【 答 え 】　期待値： 1/2　　　確率： 1/2


【 問 題 ２ 】
　２次元 x y 座標系の　0 < x < 1　かつ　0 < y < 1　の範囲内で 直線 y ＝ x 上に無作為に点を選んで、原点と結ぶ線分を対角線とする正方形を作るときの、正方形の面積の期待値 と 正方形の面積が 1/4 以下になる確率 を求めよ。


　　【 答 え 】　期待値： 1/3　　　確率： 1/2


【 問 題 ３ 】
　一辺の長さが 1 cm 以下の正方形は無数にあるが、その中から無作為に１つを選んだときの、一辺の長さの期待値 と 一辺の長さが 1/2 cm 以下になる確率 を求めよ。


　【 答 え 】

期待値： 1/2
　　　　
確率： 1/2　　← これは、面積が 1/4 cm² 以下になる確率です。


【 問 題 ４ 】
　面積が 1 cm² 以下の正方形は無数にあるが、その中から無作為に１つを選んだときの、面積の期待値 と 面積が 1/4 cm² 以下になる確率 を求めよ。


　【 答 え 】

期待値： 1/2
　　　　
確率： 1/4


【 解 説 】
　問題３ と 問題４ は 同じ正方形の大きさ以下である確率を問うているのだが、答えが異なっている。これは「庭のパラドックス」と言われている。また、問題４ と 問題２ との違いも味わってほしい。
　「庭のパラドックス」とは、一辺が 10m 〜 20m の庭の中から無作為に１つの正方形を選んだときにその面積が 225 m² 以下になる確率を求めると、一辺の長さを無作為に決めてから選ぶ方法に比べて、面積を無作為に決めてから選ぶ方法は確率が少し低くなるというものである。一辺の長さを無作為に決めてから選ぶ方法では、面積の小さいものほど選択する確率が少し高くなるのである。
　正方形を無作為に選ぶとは、無数にある大きさの違う正方形の中から公平に選ぶということなので、面積に依って選ぶべきで、辺や対角線の長さで選ぶのは無作為に選ぶとは言わないと、私は考る。