【 問 題 】

　 x ³ + y ³ ＝ z ³　のとき、 x ， y ， z のうち少なくとも １ つは ３の倍数であることを示せ。

【 解 答 】

x ， y ， z の３つとも３の倍数でないと仮定する。

３で割ると １ 余る数の３乗 ：
　　　（ ３ｎ＋１ ）³　＝→　27ｎ³ ＋ 27² ＋ 9ｎ ＋ 1
　　　　　　　　　　　＝→　９ ×（ 3ｎ³ ＋ 3ｎ² ＋ ｎ ） ＋ 1

３で割ると２余る数の３乗 ：
　　　（ ３ｎ＋２ ）³　＝→　27ｎ³ ＋ 54² ＋ 36ｎ ＋ 8
　　　　　　　　　　　＝→　９ ×（ 3ｎ³ ＋ 6ｎ² ＋ 4ｎ ） ＋ 8

　 ３で割ると １ 余る数の３乗 と ３で割ると １ 余る数の３乗 とを加えると、 ９で割ると２余る数になる。 したがって、 x と y が３で割ると １ 余る数 のとき、 z の３乗は９で割ると２余る数でなければならないのに、 z の３乗は９で割ると １ 余る数 または ８余る数 であるから、 矛盾する。
　 ３で割ると８余る数の３乗 と ３で割ると８余る数の３乗 とを加えると、 ９で割ると７余る数になる。 したがって、 x と y が３で割ると２余る数 のとき、 z の３乗は９で割ると７余る数でなければならないのに、 z の３乗は９で割ると １ 余る数 または ８余る数 であるから、 矛盾する。
　 ３で割ると １ 余る数の３乗 と ３で割ると８余る数の３乗 とを加えると、 ９で割りきれる数になる。 したがって、 x が３で割ると １ 余る数で、 かつ、 y が３で割ると８余る数 のとき、 z の３乗は９で割りきれる数でなければならないのに、 z の３乗は９で割ると １ 余る数 または ８余る数 であるから、 矛盾する。
　 以上より、 仮定は否定される。 したがって、 x ， y ， z のうち少なくとも １ つは３の倍数である。