（１） 波動方程式

波動方程式（ 帯状イメージバージョン）

サインカーブが右向きに等速移動しているイメージです。
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　


波動方程式 （ 円盤イメージバージョン ）

　 円周上を１点が反時計回りに等速円運動しているイメージです。 複素平面 を用いると、 波動方程式は次のようにも表現することができます。

　　　　

　 図−１
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　

複素平面 では、 点 の位置は次のように表されます。
　　　　
この式は、 オイラーの公式 と言われます。

　 円周上を点 が反時計回りに等速円運動していると考えてください。 すると、 点 の等速円運動の実数軸への投影、 つまり、 点 の運動は、 単振動です。


波動方程式（ 双曲型偏微分方程式バージョン ）

　　　　

　　　　

　　　　
　　　　

　　　　
　　　　

　を　　に代入すると、
　　　　
これに を代入すると、
　　　　
したがって、 次の式が成り立ちます。
　　　　
これが、 アカデミックな波動方程式です。

（２） オイラーの公式

複素数 ，　自然対数の底 ，　円周率 　の定義は次のようになっています。

　　　
　　　
　　　
　 　　　　　　　　　　　　扇形の中心角は、 弧の長さの半径に対する比率で表されます
　 　　　　　　　　　　　（ 弧度法 ）。 は、 半円の弧の長さの半径に対する比率です。
　 　　　　　　　　　　　したがって、 は １８０度 の角度を表すものです。 また、 した
　 　　　　　　　　　　　がって、 は円周の長さを表します。

　 オイラーの公式 ：　　の に を代入すると、
　　　　　　　　　　　　　 ですから、　　になります。
これが、 数学で最も美しい式といわれる、 オイラーの等式です。 博士の愛した数式です。

オイラーの公式を導くには、 マクローリン展開を用います。
　　　　マクローリン展開 ：
　　　　　　　　

　より、
　　　　

　より、
　　　　
　 に を代入して、
　　

したがって、 次のオイラーの公式になります。