（３） 自然対数 （ ） の起源

対数 は 指数 の逆関数です。 これから、 自然対数 を導いてみましょう。

　の逆関数を　 とする。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 は、 常用対数 です。
　のとき、
　　　　 より、
　　　　 より、
　　　　　　　　
したがって、 一般的に、 次の式が成り立つ。
　　　

のとき、
　　　　
　　　　 より、
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
したがって、 一般的に、 次の式が成り立つ。
　　　

　とする。
　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
したがって、 一般的に、 次の式が成り立つ。
　　　

ここで、 常用対数関数 ： の微分を考える。

　　　　
　　　　ここで、
　　　　　　　　とおくと、
　　　　　　　 のとき、　 ，　　となる。

　　　　したがって、
　　　　　　　
　　　　ここで、 　とおき、 　とすると、 次のようになる。
　　　　　　　

したがって、 一般的に、 次の式が成り立つ。
　　　　

　 微分すると簡単な式で表される対数関数の底を求めて発見されたのが、 自然対数の底 です。 を発見したのも、 オイラー（ 1707 〜 1783 ） なので、 は、 オイラーの定数 とも言われています。

（４） 指数関数の微分

　 　は正しいですが、 　は間違いです。

指数関数 ：　 を微分してみましょう。
まず、 両辺の自然対数をとります。 すると、 次のようになります。
　　　　
左辺を で微分すると、
　　　　
右辺を で微分すると、
　　　　
したがって、
　　　　
よって、
　　　　
したがって、 一般的に、 指数関数の微分は、 次のようになります。
　　　　

ここで、 に を代入すると、 次のようになります。
　　　　
したがって、 自然指数関数は微分しても変化しないことが解ります。

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