この式を証明しよう。

初項が 1 公比が r ( −1 ＜ r ＜ 1 ） の無限数列の和は、次のように収束する。
　　　
　だから、 は、初項が 1 公比が　 の無限数列の和である。よって、次の式が成り立つ。
　　　
　　　　　　　

同様にして、次の式たちも成り立つ。
　　　
　　　　　　　
　　　
　　　　　　　

　　　( あとは省略 )

オイラー積は次の式で表される。
　　　
であり、２以上のすべての自然数は素数そのものか素数の積で表されるので、次の式が成り立つ。