正五角形の １ 辺の長さ と 対角線の長さ の比は次の黄金比になっています。
　　　　
このことを証明しましょう。
１ 辺の長さが １ である正五角形ＡＢＣＤＥが円に内接しています。
　　　　

円周角の定理より、　∠ＡＥＢ ＝ ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＣＥＤ　です。
正五角形の頂角は 108 度です。 それは次の式から求めることができます。
　　　　（ 180 度 × ３ ）÷ ５　＝→　108 度
したがって、　∠ＡＥＢ ＝ ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＣＥＤ ＝ 36 度　です。
対角線ＢＥ と 対角線ＡＤ の交点をＦとします。
　　　　
円周角の定理より、　∠ＤＡＥ ＝ 36 度　です。
△ＦＥＡは二等辺三角形です。　ＦＥ ＝ ＦＡ　です。
∠ＡＦＥ ＝ 108 度　です。
∠ＢＡＦ ＝ ∠ＢＦＡ ＝ 72 度　です。
△ＢＦＡは二等辺三角形です。　ＢＡ ＝ ＢＦ ＝ １　です。
△ＡＢＥ と △ＦＥＡ は相似です。
したがって、 ＡＢ ： ＢＥ　＝　ＦＥ ： ＥＡ　です。
ＦＥ ＝ χ と置きます。
すると、 １ ： １＋χ　＝　χ ： １　になります。
よって、 χ^２＋χ ＝ １
よって、 χ^２＋χ−１ ＝ ０
χ ＞ ０ の範囲で上記の二次方程式を解の公式を用いて解くと、 次のようになります。
　　　　
よって、
　　　　
よって、