【 問 題 】

全体集合を自然数とする。次の式を満たす m と n を求めよ。

　　　１＋２＋３＋・・・・＋(2m-3)＋(2m-2)＋(2m+1)＋(2m+2)＋・・・・＋(n-1)＋ｎ　＝　15000

【 解 答 】

与式を書き直すと、
　　　１＋２＋３＋・・・・・＋(n-1)＋ｎ −(2m−1)−2m　＝→　n(n+1)/2 −4m＋1　＝　15000
したがって、　n²/2 ≒ 15000　　　＊ ここがこの問題のキーポイントです。
よって、 n² ≒ 30000
よって、 n ≒ 173.2
よって、 n は 173 または 174

n = 173 のとき
　　n(n+1)/2 ＝ 15051
　　よって、 15051−4m＋1 ＝ 15000
　　よって、 4m = 52
　　よって、 m = 13

n = 174 のとき
　　n(n+1)/2 ＝ 15138
　　よって、 15138−4m＋1 ＝ 15000
　　よって、 4m = 139
　　上記の式を満たす m は存在しない。

というわけで、 答えは、　m = 13　　n = 173

【 解 説 】

この問題は、 数学オリンピックで出題された次の問題と同じものです。
　　「 本の中の１枚の紙が破れています。残ったページ数の合計は 15000 です。
　　　なくなったページは 何ページ と 何ページ ですか？」
なくなった可能性のあるページの組み合わせは、 隣どおしの数であり、かつ、一桁の数が次のペアのどれかであることです。
　　1 と 2　　　3 と 4　　　5 と 6　　　7 と 8　　　9 と 0