問 題 ：

　　の３つの解を　， ， とするとき、
　　　（１）　 　になることを示せ。
　　　（２）　 　になることを示せ。
　　　（３）　 　とすると、
　　　　　　　　
　　　　　　となることを示せ。

解 答 ：

　題意より、 恒等式 ：　　が成り立つ。
　この恒等式の右辺は、 次のようになる。
　　　　　
　したがって、 次の３つの式が成り立つ。
　　　　　
　　　　　 より、
　　　　　　　　


（１） の答え

　　　 より、
　　　　　　

（２） の答え

　　　 より、
　　　　　　

（３） の答え

　　　 と （１） と （２） より、　
　　　
　　　したがって、
　　　　　　
　　　ここで、 　より、
　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　

解 説 ：

　 第 項の値 が　　と表される数列は、 ペラン数列 と言われます。　 が で割り切れるとき、 は素数だそうです。 これを確かめるため、 次のようなプログラムを Javascript で作ってみました。




＜ 上記のプログラムの実行結果 ＞
　ペラン数列 ：　　0　　2　　3　　2　　5　　5　　7　 10　 12　 17　 22　 29　 39　 51　 68　 90　 119　158　209　277

　第 ｎ 項の数が ｎ で割り切れるケース ：
　（ 第 ｎ 項,　第 ｎ 項の数 ） ＝
　　　　　　　（ 2, 2 ）　　（ 3, 3 ）　　（ 5, 5 ）　　（ 7, 7 ）　　（ 11, 22 ）　　（ 13, 39 ）　　（ 17, 119 ）　　（ 19, 209 ）