の x と y の自然数解について言えば、 自然数Ｄ に関係なく （ x， y ） ＝ （ １， ０ ） は上式を満たす。 これを「 自明の自然数解 」と言う。 Ｄ が平方数でなければ、 上式を満たす x と y の自然数の組み合わせは無数にある。　その内、 最も小さな自然数の組み合わせを （ x， y ） ＝ （ ａ _１ ， ｂ _１ ） とし、 上式の自然数解を小さい順に、 （ ａ _１ ， ｂ _１ ）， （ ａ _２ ， ｂ _２ ）， （ ａ _３ ， ｂ _３ ） ・ ・ ・ ・　とすると、 は次の式で与えられる。
　　　　

Ｄ が 10以下の平方数でない自然数の場合の非自明な最小自然数解を次の表に示す。

	ａ１	ｂ１
Ｄ ＝ ２	３	２
Ｄ ＝ ３	２	１
Ｄ ＝ ５	９	４
Ｄ ＝ ６	５	２
Ｄ ＝ ７	８	３
Ｄ ＝ ８	３	１
Ｄ ＝ 10	19	６

　より、
　　　　
したがって、 y が十分に大きければ、 次の式が成り立つ。
　　　　

このことを利用すれば、 平方根の近似値を求めるプログラムを作ることができる。

求めたい平方根 （ ２，３，５，７ より ）　 　　 　　

ペル方程式　　の 非自明な最小自然数解 ：　x = ，　 y =

15乗する行列：
　　　　
　　　　

15番目に小さい非自明な自然数解：
　　　　x = ，　 y =

　　　　平方根の近似値 （ x / y ） ：

　　　　　　　　　　　　２ の正の平方根　≒　1.4142135623730950・・・
　　　　　　　　　　　　３ の正の平方根　≒　1.7320508075688772・・・
　　　　　　　　　　　　５ の正の平方根　≒　2.2360679774997896・・・
　　　　　　　　　　　　７ の正の平方根　≒　2.6457513110645905・・・

　　プログラムの内容 ：