ピタゴラス数とは　a² ＋ b² ＝ c²　を満たす３つの自然数の組 { a, b, c } のことです。
　ピタゴラス数のうちの最大でない２つの自然数の積 ( ab ) は 12 の倍数になっています。
　そのことを証明してみましょう。

　証明の方法は背理法です。「 a かつ b は３の倍数ではない。」 かつ 「 a かつ b は４の倍数ではない。」という仮説を立てて、これを否定していきます。
　そのためには、合同式（ MOD ）を用います。合同式では、３の倍数でない自然数は １ または ２ であり、４の倍数でない自然数は １ または ２ または ３ です。

　まず、「 a かつ b は３の倍数ではない。」ことを否定してみましょう。
　そう仮定すると、a² や b² のパターンは次のようになります。
　　　１×１ ＝→ １
　　　２×２ ＝→ １
つまり、３で割り切れない自然数の２乗は３で割ると１余る数になるということです。
　したがって、a² ＋ b² のパターンは次のようになります。
　　　１＋１ ＝→ ２
　一方、c² のパターン次のようになります。
　　　０×０ ＝→ ０
　　　１×１ ＝→ １
　　　２×２ ＝→ １
　というわけで、「 a かつ b は３の倍数ではない。」と仮定すると矛盾が生じることが分かりました。したがって、仮説は否定されました。つまり、 a または b は３の倍数であることが分かりました。

　次に、「 a かつ b は４の倍数ではない。」ことを否定してみましょう。
　そう仮定すると、a² や b² のパターンは次のようになります。
　　　１×１ ＝→ １
　　　２×２ ＝→ ０
　　　３×３ ＝→ １
つまり、４で割り切れない自然数の２乗は４で割ると 割り切れる数か または １余る数 になるということです。
　したがって、a² ＋ b² のパターンは次のようになります。
　　　０＋０ ＝→ ０
　　　０＋１ ＝ １＋０ ＝→ １
　　　１＋１ ＝→ ２
　一方、c² のパターン次のようになります。
　　　０×０ ＝→ ０
　　　１×１ ＝→ １
　　　２×２ ＝→ ０
　　　３×３ ＝→ １
　したがって、a または b は４で割ると２余る数であることが分かります。ということは、 a と b の組み合わせは次の３パターンになります。
　　　�@　４で割ると２余る数（ 4m＋2 ）　と　４で割ると１余る数（ 4n＋1 ）
　　　�A　４で割ると２余る数（ 4m＋2 ）　と　４で割ると２余る数（ 4n＋2 ）
　　　�B　４で割ると２余る数（ 4m＋2 ）　と　４で割ると３余る数（ 4n＋3 ）
�@ について
　c² は奇数になるから、c は奇数なので、c ＝ 2k＋1 と置きます。
　c² ＝ a² ＋ b² は次のように表されます。
　　　4k²＋4k＋1　＝　( 16m²＋16m＋4 ) ＋ ( 16n²＋8n＋1 )
　　　よって、　k(k＋1)　＝　2( 2m²＋2m＋2n²＋n ) ＋ 1
　　　左辺は偶数だが 右辺は奇数であり、この式は矛盾します。
�A について
　c² は偶数になるから、c は偶数なので、c ＝ 2k と置きます。
　c² ＝ a² ＋ b² は次のように表されます。
　　　4k²　＝　( 16m²＋16m＋4 ) ＋ ( 16n²＋16n＋4 )
　　　よって、　k²　＝　4( m²＋m＋n²＋n ) ＋ 2
　　　左辺は４で割り切れる数だが 右辺は４で割ると２余る数であり、この式は矛盾します。
�B について
　c² は奇数になるから、c は奇数なので、c ＝ 2k＋1 と置きます。
　c² ＝ a² ＋ b² は次のように表さまする。
　　　4k²＋4k＋1　＝　( 16m²＋16m＋4 ) ＋ ( 16n²＋24n＋9 )
　　　よって、　k(k＋1)　＝　2( 2m²＋2m＋2n²＋3n＋1 ) ＋ 1
　　　左辺は偶数だが 右辺は奇数であり、この式は矛盾します。
　というわけで、「 a かつ b は４の倍数ではない。」と仮定すると矛盾が生じることが分かりました。したがって、仮説は否定されました。つまり、 a または b は４の倍数であることが分かりました。

　以上より、「 a または b は３の倍数である。」 かつ 「 a または b は４の倍数である。」ということが証明されました。ということは、ab は 12 の倍数になっているということです。