【 問 題 】

　最初に１円が与えられる。その後にコイントスして表か裏かの予想が当たれば２円もらえ、外れれば１円を失う。これを繰り返して行くのだが、手持ちのお金が無くなると失格になる。1000人が一斉に行う。

　n を０以上の整数とすると、3n＋1 回目直後は失格になっていない人の所持金はすべて３で割り切れる数になっており、3n＋2 回目直後は失格になっていない人の所持金はすべて３で割ると２余る数になっており、3n＋3 回目直後は失格になっていない人の所持金はすべて ３で割ると１余る数になっている。その理由を述べよ。

　【 解 答 】

　正３角形の頂点を、時計回りに２つ移動しても、反時計回りに１つ移動しても、同じ頂点へと移動することになるから。

　【 解 説 】

　予想が当たり２円もらえて所持金の３で割った余りが変化することを、正３角形の頂点を時計回りに２つ移動することに例えており、予想が外れ１円を失って所持金の３で割った余りが変化することを、正３角形の頂点を反時計回りに１つ移動することに例えているのである。
　１回目直後は失格になっていない人の所持金はすべて３円であり３で割り切れる数になっており、２回目直後は失格になっていない人の所持金は２円または５円であり３で割ると２余る数になっており、３回目直後は失格になっていない人の所持金は１円または４円または７円であり３で割ると１余る数になっている。

　m を１以上の整数とすると、m 回目直後の理論的最高所有金額は 2m＋1 円である。
　それは、 m＝3n＋1 のとき 3(2n＋1)＋0 円になり、 m＝3n＋2 のとき 3(2n＋1)＋2 円になり、 m＝3n＋3 のとき 3(2n＋2)＋1 円になる。