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2025.04.05_____

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　 三平方の定理の証明法を分類してみます。

　【 １ 】　タイルの敷き詰め法を用いる方法

（１）　その他の数学　＞　図は物語る

（２）
　　　　　　　　

　　　　　・ 両方の図を比べて、 ａ² ＋ ｂ² ＝ ｃ²
　　　　　・ 右の図より、 ｃ² ＝ (ａ＋ｂ)²−２ａｂ

　【 ２ 】　直角三角形を分割する方法

（１）　ユークリッドによる証明法



ＡＢ ＝ ｃ　　ＢＣ ＝ ａ　　ＣＡ ＝ ｂ　　ＣＰ ＝ ｗ

直角三角形ＡＢＣ と 直角三角形ＰＡＣ とは相似なので
　　ｂ ： ｗ　＝　ａ ： ｂ　　⇒　　ｂ² ＝ ａｗ　　・ ・ ・
直角三角形ＰＢＡ と 直角三角形ＰＡＣ とは相似なので
　　ｃ ： ( ａ−ｗ )　＝　ａ ： ｃ　　⇒　　ｃ² ＝ ａ ( ａ−ｗ )　・ ・ ・
より、　ｂ² ＋ ｃ² ＝ ａ²


（２）　アインシュタインによる証明法



ＡＢ ＝ ｃ　　ＢＣ ＝ ａ　　ＣＡ ＝ ｂ　　ＣＰ ＝ ｗ

直角三角形ＡＢＣ と 直角三角形ＰＡＣ と 直角三角形ＰＢＡ は相似なので、
　　　直角三角形ＰＡＣの面積 ＝ 直角三角形ＡＢＣの面積 × ｂ²/ａ²
　　　直角三角形ＰＢＡの面積 ＝ 直角三角形ＡＢＣの面積 × ｃ²/ａ²
直角三角形ＡＢＣの面積 ＝ 直角三角形ＰＡＣの面積 ＋ 直角三角形ＰＢＡの面積　より、
　　　１ ＝ ｂ²/ａ² ＋ ｃ²/ａ²
よって、　ｂ² ＋ ｃ² ＝ ａ²


（３）　幾何学　＞　三角形の内接円

（４）　無限等比級数の和の公式を利用する方法

　直角三角形 ＡОＢ が直交座標系の上に置いてあります。点Ａの位置する座標は（ 0, a ）で、点Ｂの位置する座標は（ b, 0 ）です。線分ＡＢの長さを c とします。

　　　

　直角三角形　ＡОＢ　と　ОＰ₁Ｂ　とは相似です。
　　　したがって、
　　　　　ＡО ： ＢＡ　＝　ОＰ₁ ： ＢО
　　　　　　　よって、　ОＰ₁　＝　ＢО × ＡО ÷ ＢＡ　＝→　ab / c
　　　　　また、 ОＢ：ＢＡ　＝　Ｐ₁Ｂ ： ＢО
　　　　　　　よって、　Ｐ₁Ｂ　＝　ＯＢ² ÷ ＢＡ　＝→　b² / c
　直角三角形　ＡОＢ　と　ＡＰ₁О　は相似です。
　直角三角形　ＡＰ₁О　と　Ｐ₁ＷО　は相似です。
　よって、 直角三角形　ＡОＢ　と　Ｐ₁ＷО　は相似です。
　　　したがって、 ＡО ： ＢＡ　＝　Ｐ₁Ｗ ： ОＰ₁
　　　よって、 Ｐ₁Ｗ　＝　ОＰ₁ × ＡО ÷ ＢＡ　＝→　ОＰ₁ × ( a / c )
　直角三角形　Ｐ₁ＷО　と　ОＱ₁Ｐ₁　は合同です。
　　　したがって、 ОＱ₁　＝　Ｐ₁Ｗ　＝→　ОＰ₁ × ( a / c )　＝→　b × ( a / c )²
　直角三角形　ＡОＢ　と　Ｐ₁Ｑ₁Ｂ　は相似です。その相似比は　c ： b² / c　です。
　直角三角形　Ｐ₁ОＱ₁　と　Ｐ₂Ｑ₁Ｑ₂　とは相似です。その相似比は　c ： b² / c　です。
　　　したがって、　ОＱ₁ ： Ｑ₁Ｑ₂　＝　1 ： b² / c²
　　　よって、　Ｑ₁Ｑ₂　＝　ОＱ₁ × b² / c²　＝→　b × ( a / c )² × ( b / c )²
　同様に考えると、　Ｑ_n-1Ｑ_n ： Ｑ_nＱ_n＋1　＝　1 ： b² / c²　ですので、
　　　Ｑ_nＱ_n＋1　＝　Ｑ_n-1Ｑ_n × ( b / c )²
　したがって、次の等式が成り立ちます。
　　　b　＝　ОＱ₁ ＋ Ｑ₁Ｑ₂ ＋ Ｑ₂Ｑ₃ ＋ ・・・・
　　　　　　　　　※ 等比数列の和の公式
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　したがって、　c² − b²　＝　a²
　よって、　a² ＋ b²　＝　c²

　【 ３ 】　解析学的方法

（１）　幾何学 ＞ 余弦定理からピタゴラスの定理（ 三平方の定理 ） を導く
　　　　　でも、 これは証明になっていない。
　　　　なぜなら、 余弦定理はピタゴラスの定理から導かれるからである。

　 ピタゴラスの定理の証明については、 次のホームページをお勧めします。
　　　　http://shochandas.xsrv.jp/index.htm
　　　　　　私的数学塾 ＞ 私の備忘録 ＞ 幾何学分野 ＞ ピタゴラスの定理とその証明