【 問 題 】

各位の数の総和を９で割ったときの余りが k の数は、９で割ると k 余ることを証明せよ。

【 解 答 】

ある自然数 m を次のように置く。
　　m　＝　a_n×10ⁿ ＋ a_n−1×10ⁿ⁻¹ ＋ a_n−2×10ⁿ⁻² ＋ a_n−3×10ⁿ⁻³ ＋ ・・・ ＋ a₁×10 ＋ a₀

すると、 m は次のように表される。
　　m　＝　{ a_n×( 10ⁿ−1 ) ＋ a_n−1×( 10ⁿ⁻¹−1 ) ＋ a_n−2×( 10ⁿ⁻²−1 ) ＋ ・・・ ＋ a₂×99 ＋ a₁×9 }
　　　　　　　　　　＋ ( a_n ＋ a_n−1 ＋ a_n−2 ＋ ・・・ ＋ a₁＋ a₀ )

10ⁿ−1 も 10ⁿ⁻¹−1 も 10ⁿ⁻²−1 も ・・・ 99 も 9 も すべて９で割り切れるので、m を９で割った余りは ( a_n ＋ a_n−1 ＋ a_n−2 ＋ ・・・ ＋ a₁＋ a₀ ) を９で割った余りに等しい。

したがって、m の各位の数の総和を９で割ったときの余りが k のとき、m を９で割ったときの余りは k になる。