数列 ：　1　11　111　1111　・・・・

上記の数列の第ｎ項（ａ_ｎ） と ｎ項までの総和（Ｓ_ｎ） を求めましょう。

ａ₁ ＝ 1
ａ_ｎ+1 ＝ａ_ｎ + 10^ｎ　　・・・・
ａ_ｎ+1 ＝ 10 × ａ_ｎ + 1　　・・・・

より、

ａ₁ ＝ 1
ａ₂ ＝ ａ₁ ＋ 10
ａ₃ ＝ ａ₂ ＋ 10²
ａ₄ ＝ ａ₃ ＋ 10³
　　　　・
　　　　・
ａ_ｎ ＝ａ_ｎ−1 ＋ 10^ｎ−1

辺々足して、
　　　ａ_ｎ ＝　1 ＋ 10 ＋ 10² ＋ 10³ ＋ ・・・ ＋ 10^ｎ−1
　　　　　

より、

ａ₁ ＝ 1
ａ_ｎ+1 ＝ 10 × ａ_ｎ + 1

ａ₁ ＝ 1
ａ₂ ＝ 10 × ａ₁ ＋ 1
ａ₃ ＝ 10 × ａ₂ ＋ 1
ａ₄ ＝ 10 × ａ₃ ＋ 1
　　　　・
　　　　・
ａ_ｎ ＝ 10 × ａ_ｎ−1 ＋ 1

辺々足して、
　　　ａ_ｎ ＝ ９ × ( ａ₁ ＋ａ₂ ＋ａ₃ ＋ ・・・ ＋ ａ^ｎ−1 )　＋　ｎ
　　　　　＝→ ９ × s_ｎ−1　＋　ｎ