【 問 題 】

５の倍数でない任意の奇数は何倍かすれば必ず桁の数がすべて１の数になることを証明せよ。

【 解 答 】

1
11
111
1111
　・
　・
1111・・・1111
　　以上の (n＋1)個の数を用意する。

鳩の巣理論より、この数たちの中には n で割った余りが等しい数が１組以上存在する。
それらを a と b とする。ただし、a ＜ b とする。
b−a は n で割り切れる。
　　b−a ＝ 1111…11000…00 ＝ 1111…11 × 1000…00
５の倍数でない奇数は、1000…00 とは互いに素なので、1111…11 は n で割り切れる。
よって、５の倍数でない任意の奇数は何倍かすれば必ず桁の数がすべて１の数になる。