累乗の差を割り切る数 数理論 へ戻る
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2020.08.18____

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　【 問 題 】

全体集合を自然数とする。
ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ　 （ ｂ ＞ ａ ）　は　ｂ−ａ　で割り切れることを示せ。

　【 解 答 その１ 】

ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ　＝　（ ｂ−ａ ） （ ｂ ^ｎ−１ ＋ ｂ ^ｎ−２ａ ＋ｂ ^ｎ−３ａ ^２ ＋ ・ ・ ・ ＋ ｂ ^２ａ ^ｎ−３ ＋ ｂ ａ ^ｎ−２ ＋ ａ ^ｎ−１ ）
よって、 ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ は　ｂ−ａ　で割り切れる。

　【 解 答 その２ 】

ｎ ＝ １　のとき、 ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ は　ｂ−ａ　で割り切れる。
ｎ ＝ ｋ　のとき、 ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ は　ｂ−ａ　で割り切れると仮定する。
すると、 ｂ ^ｋ − ａ ^ｋ ＝ （ ｂ−ａ ） ｍ　 ・ ・ ・ 　と表すことができる。
ｂ ^ｋ＋１ − ａ ^ｋ＋１ 　＝→　ｂ・ｂ ^ｋ − a・ａ ^ｋ
　　　　　　　　　　　＝→　ｂ ｛ （ ｂ−ａ ）ｍ ＋ ａ ^ｋ ｝ − ａ・ａ ^ｋ
　　　　　　　　　　　＝→　ｂ （ ｂ−ａ ） ｍ ＋ ｂ・ａ ^ｋ − ａ・ａ ^ｋ
　　　　　　　　　　　＝→　ｂ （ ｂ−ａ ） ｍ ＋ （ ｂ−ａ ）ａ ^ｋ
　　　　　　　　　　　＝→　（ ｂ−ａ ） （ ｂ ｍ ＋ ａ ^ｋ ）
したがって、 ｂ ^ｋ＋１ − ａ ^ｋ＋１　は　ｂ−ａ　で割り切れる。
よって、 ｎ ＝ ｋ＋１　のときも、 ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ は　ｂ−ａ　で割り切れる。
したがって、 ｂ ^ｎ − ａ ^ｎ は　ｂ−ａ　で割り切れる。