【 問 題 】

面積が１の正方形ＡＢＣＤの中に描ける最大の正三角形ＰＣＱがある。
ＡＰの長さ と ＰＣの長さ と 正三角形ＰＣＱの面積 を求めよ。

　　　　

【 解 答 】

ＡＰの長さを x とする。
△ＡＰＱは直角二等辺三角形であるから、ＡＱ ＝ x
ピタゴラスの定理より、ＰＱ ＝ root(2) x
したがって、ＰＣ ＝ root(2) x
△ＰＢＣは直角三角形だから、ピタゴラスの定理より、(1−x)²＋1² ＝ 2 x²
したがって、 x² ＋ 2x − 2　＝　0
解の公式より、 x ＝｛−2＋root(4+8)｝/ 2　＝→　−1±root(3)
したがって、 x ＝ root(3)−1　　ＡＰの長さが求まった。
したがって、ＰＣ ＝ root(2) x　＝→　root(6)−root(2)　　ＰＣの長さが求まった。
一辺の長さが ａの正三角形の、高さは root(3)ａ/2 で、面積は root(3)ａ²/4 だから、
正三角形ＰＣＱの面積は、 root(3)｛root(6)−root(2)｝² / 4　＝→　2root(3)−3