問題 ：　平方数に １ を加えた数は３の倍数ではないことを証明せよ。


解答 ：
　　　３で割り切れる数 ( ３ｎ ) の場合 ：
　　　　　　　（ ３ｎ ）^２ ＋ １　＝　９ｎ^２ ＋ １　＝　３×３ｎ^２ ＋ １
　　　　　　　　　　　　⇒　これは、 ３で割ると １ 余る数である。

　　　３で割ると １ 余る数 （ ３ｎ＋１ ） の場合 ：
　　　　　　　（ ３ｎ＋１ ）^２ ＋ １　＝　９ｎ^２ ＋ ６ｎ ＋ ２　＝　３ × （ ３ｎ^２ ＋ ２ｎ ） ＋ ２
　　　　　　　　　　　　⇒　これは、 ３で割ると ２ 余る数である。

　　　３で割ると２余る数 （ ３ｎ＋２ ） の場合 ：
　　　　　　　（ ３ｎ＋２ ）^２ ＋ １　＝　９ｎ^２ ＋ １２ｎ ＋ ５　＝　３ × （ ３ｎ^２ ＋ ４ｎ ＋ １ ） ＋ ２
　　　　　　　　　　　　⇒　これは、 ３で割ると ２ 余る数である。

　　　以上より、 平方数に １ を加えた数は３の倍数ではないと言うことができる。