表に数字の 1 が書かれ、裏に数字の 0 が書かれているカードが 6枚 あります。
A君とB君は向かい合って、そのカードを手前に横に揃えて 3枚 ずつ並べます。
A君はすべてのカードを表にし、B君はすべてのカードを裏にします。
次に、２人はセーノで、無作為に自分のカードの 1枚 を裏返します。
そして、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計をとります。
その次に、同様にして、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計をとります。
これを10回繰り返します。

　このときに、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は、1 または 3 であることを証明してみましょう。
　また、最初にA君もB君もすべてのカードを裏にして並べてから同様のことを行った場合は、
向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は、0 または 2 であることを証明してみましょう。


まず、最初のカードの状態に関わらず言えることを確認しましょう。

�@ 向かい合ったカードどうしが裏返された場合は、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は変化しません。

�A 向かい合っていないカードが２枚裏返された場合は、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は変化することがあります。

では、まず、A君はすべてのカードを表にし、B君はすべてのカードを裏にした場合を考えてみましょう。

最初、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 3 になっています。
最初に裏返されたのが向かい合っていないカードたちであった場合、
同じ数の向かい合うペアが２組と異なる数の向かい合うペアが１組になるので、
向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 1 になります。
次に、この状態から、向かい合っていないカードたちが裏返された場合を考えましょう。

�@　同じ数の向かい合うペア２組のうちの１枚ずつが裏返された場合は、異なる数の向かい合うペアが3組にあるので、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 3 になります。

�A　同じ数の向かい合うペアのうちの１組のカードのうちの１枚 と 異なる数の向かい合うペア１組のうちのカードが１枚 とが裏返された場合は、同じ数の向かい合うペアが２組と異なる数の向かい合うペアが１組になるので、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 1 になります。

このように、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は、1 または 3 になります。


次に、最初に、A君もB君もすべてのカードを裏にして並べた場合を考えてみましょう。

最初、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 0 になっています。
最初に裏返されたのが向かい合っていないカードたちであった場合、
同じ数の向かい合うペアが1組と異なる数の向かい合うペアが2組になるので、
向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 2 になります。
次に、この状態から、向かい合っていないカードたちが裏返された場合を考えましょう。

�@　異なる数の向かい合うペア２組のうちの１枚ずつが裏返された場合は、同じ数の向かい合うペアが3組にあるので、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 0 になります。

�A　異なる数の向かい合うペアのうちの１組のカードのうちの１枚 と 同じ数の向かい合うペア１組のうちのカードが１枚 とが裏返された場合は、異なる数の向かい合うペアが２組と同じ数の向かい合うペアが１組になるので、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は 2 になります。

このように、向かい合ったカードに書かれた数の差の合計は、0 または 2 になります。

　　参考：　大学生のための数学 ＞ 確率 ＞ 頂点移動の確率漸化式（ 問題２ ）