【 問 題 】

奇数の２乗は８で割ると１余る数であることを証明せよ。

【 解 答 】

( 2 n ＋ 1 ) ²　＝→　4 n ² ＋ 4n ＋ 1
　　　　　　　＝→　4 n ( n ＋ 1 ) ＋ 1
n ( n ＋ 1 ) は連続する２つの自然数だから２の倍数である。
よって、4 n ( n ＋ 1 ) は８の倍数である。
したがって、奇数の２乗は８で割ると１余る数である。

【 別 解 】

８を法とする世界では、奇数は １ と ３ と ５ と ７ の４つだけで表すことができる。
　　　１² ＝ 1
　　　３² ＝ 9 ≡ 1 ( mod 8 )
　　　５² ＝ 25 ≡ 1 ( mod 8 )
　　　７² ＝ 49 ≡ 1 ( mod 8 )