（１）

全体集合を整数とします。 を満足する x と y のペアを求めてみましょう。
　　　　５x ＋ ７y ＝ 19　　　　・ ・ ・ ・　

（ x， y ）＝（ １，２ ）は を満足する x と y のペアの１つです。
　　　　５×１ ＋ ７×２ ＝ 19　　　　・ ・ ・ ・　
から を辺々引いて、
　　　　５ ×（ x − １ ）＋ ７ ×（ y − ２ ） ＝ ０
したがって、
　　　　７ ×（ y − ２ ） ＝ −５ ×（ x − １ ）
５ と ７ は互いに素なので、
　　　　y − ２ ＝ −５ｋ　　かつ　　x − １ ＝ ７ｋ
したがって、
　　　　x ＝ ７ｋ ＋ １　　かつ　　y ＝ −５ｋ ＋ ２
つまり、
　　　　（ x， y ）＝（ ７ ｋ ＋ １ ，　−５ ｋ ＋ ２ ）　　　（ ｋ は整数 ）

（２）

全体集合を整数とします。 を満足する x と y のペアを求めてみましょう。
　　　　19x − 23 y ＝ ２　　　　・ ・ ・ ・　

まず、 ユークリッドの互除法 を用いて 19 と 23 の最大公約数を求めます。
　　　　23 − 19×１ ＝ ４
　　　　19 − ４×４ ＝ ３
　　　　４ − ３×１ ＝ １
したがって、 19 と 23 は互いに素であることが判りました。

19 ＝ ａ　かつ　23 ＝ ｂ　と置き、 上記のユークリッドの互除法を文字式で表します。
　　　　ｂ − ａ×１ ＝ ４　　　→　　　ｂ − ａ ＝ ４
　　　　ａ −（ ｂ − ａ ）×４ ＝ ３　　　→　　　５ａ − ４ｂ ＝ ３
　　　　（ ｂ − ａ ）−（ ５ａ − ４ｂ ）×１ ＝ １
　　　　　　　　　　　　　　　　→　　−６ａ ＋ ５ｂ ＝ １
　　　　　　　　　　　　　　　　→　　−６×19 ＋ ５×23 ＝ １
　　　　　　　　　　　　　　　　→　　−12×19 ＋ 10×23 ＝ ２　　　　・ ・ ・ ・　

から を辺々引いて、
　　　　19（ x ＋ 12 ）− 23（ y ＋ 10 ） ＝ ０
したがって、
　　　　19（ x ＋ 12 ） ＝ 23（ y ＋ 10 ）
19 と 23 は互いに素なので、
　　　　x ＋ 12 ＝ 23ｋ　　かつ　　y ＋ 10 ＝ 19ｋ
したがって、
　　　　x ＝ 23ｋ − 12　　かつ　　y ＝ 19ｋ − 10
つまり、
　　　　（ x， y ） ＝ （ 23ｋ − 12 ，　19ｋ − 10 ）　　　（ ｋ は整数 ）

（３）

全体集合を整数とします。 を満足する x と y のペアを求めてみましょう。
　　　　35x ＋ 48 y ＝ ３　　　　・ ・ ・ ・　

mod 35 で考えます。
すると、 は次のようになります。
　　　　48y ＝ ３　　　・・・
よって、
　　　　13y ＝ ３　　　・・・
の両辺に３をかけて、
　　　　39y ＝ ９　　　・・・
から を辺々引いて、
　　　　９y ＝ −６　　　・・・
３と 35 は互いに素だから の両辺を３で割って、
　　　　３y ＝ −２　　　・・・
の両辺に４をかけて、
　　　　12y ＝ −８　　　・・・
から を辺々引いて、
　　　　y ＝ 11
y ＝ 11　を に代入して、
　　　　35x ＋ 538 ＝ ３
よって、
　　　　35x ＝ −535
よって、
　　　　x ＝ −15
したがって、（ x， y ）＝（ −15，11 ）は を満足する x と y のペアの１つです。
したがって、次の式が成り立ちます。
　　　　−35 × 15 ＋ 48 × 11 ＝ ３　　　　・ ・ ・ ・　
から を辺々引いて、
　　　　35 ×（ x ＋ 15 ）＋ 48 ×（ y − 11 ） ＝ ０
したがって、
　　　　35 ×（ x ＋ 15 ）＝ 48 ×（ −y ＋ 11 ）
35 と 48 は互いに素なので、
　　　　x ＋ 15 ＝ 48ｋ　　かつ　　−y ＋ 11 ＝ 35ｋ
したがって、
　　　　x ＝ 48ｋ − 15　　かつ　　y ＝ −35ｋ ＋ 11
つまり、
　　　　（ x， y ） ＝ （ 48ｋ − 15 ，　−35ｋ ＋ 11 ）　　　（ ｋ は整数 ）