整数購買問題
数理論 へ戻る
大学生のための数学 へ戻る
2019.09.22____
【 問 題 １ 】
芳鉱石は １ｇで５万円、 海鋒石は １ｇで１万円、大鵬石は 20ｇで１万円です。
これらの石を 10万円で計100ｇ買うには、どんな買い方をすればいいでしょうか？
ただし、 購買単位は １ｇで、 ３つの石すべてを買う必要があります。
【 解 答 】
全体集合を自然数とする。
芳鉱石を xｇ、海鋒石を y ｇ、大鵬石を z g で買うことにします。
x ＋ y ＋ z ＝ 100 ・ ・ ・ 
5 x ＋ y ＋ z / 20 ＝ 100 ・ ・ ・ 
より、
100 x ＋ 20 y ＋ z ＝ 2000 ・ ・ ・ 
から の辺々引いて、
99 x ＋ 19 y ＝ 1900
したがって、
99 / 19 x ＋ y ＝ 100
上式を満たす x は 19 のみである。 したがって、 答えは次のようになります。
芳鉱石を 19ｇ、 海鋒石を 1ｇ、 大鵬石を 80g を買う。
【 問 題 ２ 】
チョコは １個 31円、 アメは １個 21円である。 1770円では、 何個ずつ買うことができるか？
【 解 答 】
全体集合を自然数とする。
チョコ x 個 と アメ y 個 が買えるものとすると、
31 x ＋ 21 y ＝ 1770
よって、
21 ×（ x＋y ） ＝ 10 ×（ 177 − x ）
21 と 10 は互いに素だから、
177 − x ＝ 21ｔ と置くことができる。
すると、
x ＝ 177−21ｔ ・ ・ ・
21 ×（ 177 − 21 t ＋ y ）＝ 10 × 21 ｔ
よって、
177−21 t＋ y ＝ 10ｔ ⇒ y ＝ 31ｔ−177 ・ ・ ・
かつ が成立するのは、 次の３ケースである。
ｔ ＝ ６ のとき、 （ x，y ） ＝ （ 51，9 ）
ｔ ＝ ７ のとき、 （ x，y ） ＝ （ 30，40 ）
ｔ ＝ ８ のとき、 （ x，y ） ＝ （ 9，71 ）