【 問 題 】

　全体集合を自然数（ ０は含まない ）とする。
　２ ≦ X ＜ Y であり、かつ、X と Y が互いに素であるとき、
次の式を満たす自然数の組み合わせ（ n, m, X, Y ）は存在しないことを示せ。
　　　nX + mY ＝ XY−(X＋Y)

【 解 答 】

題意より、 Y (m＋1) ＝ X (Y−1−n)　＞ 4　・・・ �@　で、X と Y が互いに素であるから、
　　　( m＋1 は X の倍数　または　X は m＋1 の倍数 )　かつ　Y は Y−1−n の倍数
よって、
　　　m＋1 ＝ aX　かつ　Y ＝ b (Y−1−n)　かつ　b＞1　・・・・ �A
　　　　　　　　　または
　　　c (m＋1) ＝ X　かつ　Y ＝ b (Y−1−n)　かつ　b＞1　・・・・ �B

�A を �@ に代入して、
　　　b (Y−1−n) aX ＝ X (Y−1−n)
よって　ab ＝ 1　　よって　0 ＜ a ＜ 1
これは a が自然数であることに矛盾する。

�B を �@ に代入して、
　　　b (Y−1−n) (m＋1) ＝ c (m＋1) (Y−1−n)
よって　b ＝ c
よって、 b (m＋1) ＝ X　かつ　Y ＝ b (Y−1−n)
これは X と Y が互いに素であることに矛盾する。

というわけで、 Y (m＋1) ＝ X (Y−1−n)　という式を満たす自然数の組み合わせ（ n, m, X, Y ）は存在しないことが分かった。
ということは、 nX + mY ＝ XY−(X＋Y)　の式を満たす自然数の組み合わせ（ n, m, X, Y ）は存在しないということである。

【 解 説 】

　n と m が 0 の値を取ってもいいことにすると、 nX + mY　で　XY−(X＋Y) よりも大きな自然数をすべて作ることができます。
プログラムで確かめてみましょう。


全体集合を自然数（ 0 を含む ）とする。
　　S ＝ nX ＋ mY
　　　　（ n ≧ 0,　 m ≧ 0,　 2 ≦ X ＜ Y ＜ 40,　 X と Y は互いに素 ）

　　X ＝
　　Y ＝

　　　

　　

プログラムの内容 ：